Bevisa att \sum a_n^2 är konvergent om \sum a_n är absolut konvergent

Halloj!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag undrar om mitt resonemang är korrekt:

Om $\sum a_n$ är absolut konvergent måste $|a_n|\to 0$ då $n\to \infty$. Då vi ligger i intervallet $[0,1]$ kommer vi ha $a_n^2 \le |a_n|$. Det finns alltså något $p$ sådant att för alla $n\ge p$:

$\displaystyle a_n^2 \le \left|a_n\right|$

Detta innebär givetvis också att:

$\displaystyle \sum_{n=p}^{\infty}a_n^2\le \sum_{n=p}^{\infty}\left|a_n\right|$

vilket enligt jämförelsekriteriet ger att även $\sum_{n=p}^{\infty}a_n^2$ konvergerar. Då har vi att:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{p-1}a_n^2+\sum_{n=p}^{\infty}a_n^2=\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2$

konvergerar, eftersom den första termen är en ändlig summa och den andra termen är konvergent enligt jämförelsekriteriet.

$\blacksquare$