Bevisa binominalsatsen m.h.a induktion

Hej, Pluggakuten!

För ett tag sedan gick vi igenom binominalsatsen, men jag blev inte riktigt övertygad av det kombinatoriska "beviset". Därför vill jag bevisa formeln för mig själv med induktion. Binominalsatsen lyder som bekant:

 

$\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{ n}\binom{n}{k}·a^{n-k}·b^{k}$.

 

Det verkar logiskt att köra induktion över den övre gränsen, alltså $n$, men jag vet inte riktigt hur jag ska ta mig vidare med min ansats. Basfallet är trivialt så jag kommer inte skriva upp det. Men vi vet enligt induktionsantagandet att:

 

$\displaystyle (a+b)^{m}=\sum_{k=0}^{ m}\binom{m}{k}·a^{m-k}·b^{k}\Leftrightarrow (a+b)^{m+1}=(a+b)\sum_{k=0}^{ m}\binom{m}{k}·a^{m-k}·b^{k}$. 

 

Det som då ska visas med hjälp av induktionsantagandet är att:

 

$\displaystyle (a+b)^{m+1}=\sum_{k=0}^{ m+1}\binom{m+1}{k}·a^{m-k+1}·b^{k}$, med andra ord att:

 

$\displaystyle (a+b)\sum_{k=0}^{ m}\binom{m}{k}·a^{m-k}·b^{k}=\sum_{k=0}^{ m+1}\binom{m+1}{k}·a^{m-k+1}·b^{k}$.

Jag ser att det är möjligt att bryta ut en faktor $a$ ur den högra summan, som är oberoende av summan. Dessutom har jag försökt fiffla lite med faktorn $\displaystyle \binom{m}{k}$ för att försöka få den att se mer lika varandra ut i de olika summorna, men utan att komma någonstans.

Har ni några bra förslag på hur jag kan försöka visa likheten ovan?