Bevisa Cauchys integralkriterium

Halloj!

Jag försöker bevisa Cauchys integralkriterium som lyder på följande sätt:

Låt $p\in \mathbb{Z}$ och $f:[p,\infty) \to [0, \infty)$ vara monotont avtagande. Då gäller följande ekvivalens:

$\displaystyle \int_{p}^{\infty}f\left(x\right)\mathrm{d}x\;\text{konvergerar}\iff\sum_{n=p}^{\infty}f\left(n\right)\;\text{konvergerar}$

Jag tänker att vi vill visa detta i båda riktningar, främst till höger. Det känns som att vänsterriktningen är ganska enkel att bevisa (serien är alltid större än eller lika med integralen och om serien konvergerar måste givetvis även integralen konvergera). I högerriktningen tänkte jag att man kunde jämföra Riemannsumman för integralen med serien för att se om man kan dra några klyftiga slutsatser. Jag tänker alltså att:

$\displaystyle \int_{p}^{\infty}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\sum_{k=p}^{\infty}f\left(x_k\right)\Delta x_k$

För en passande partition av $x$-axeln.

Den andra summan kan man också se som en Riemannsumma:

$\displaystyle \sum_{n=p}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{n=p}^{\infty}f\left(x_n\right)\Delta x_n$

för en partition av $x$-axeln sådan att varje $\Delta x_n$ får längd $1$.

Men jag kommer inte någonstans. Hjälp skulle uppskattas!