3 svar
44 visningar
naytte behöver inte mer hjälp
naytte 4666 – Moderator
Postad: 21 sep 14:05 Redigerad: 21 sep 14:11

Bevisa kontinuitet av sin x

Halloj!

Under en av de senaste föreläsningarna i envariabelanalys ville vår föreläsare visa med gränsvärden att sinx\sin x är kontinuerlig i alla punkter x=ax=a. Det som ska visas är alltså att a\forall a\in\mathbb{R}:

limxasinx=sina\displaystyle \lim_{x \to a} \left(\sin x\right)=\sin\left(a\right)

Han började med att göra variabelbytet x=a+hx=a+h och dra slutsatsen att då xax\to a går h0h \to 0. Han skrev sedan om gränsvärdet:

limxasinx=limh0sin(a+h)\displaystyle \lim_{x \to a} \left(\sin x\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sin (a+h)\right)

Redan i detta steg tycker jag det är konstigt. Vad är det som säger att vi kan göra ett sådant variabelbyte? För mig verkar det som att man redan måste veta att funktionen är kontinuerlig för att det ska fungera. Hur som helst fortsatte han så här:

limh0sin(a+h)=limh0sinacosh+cosasinh\displaystyle \lim_{h \to 0} \left(\sin (a+h)\right)=\lim_{h \to 0} \left(\sin\left(a\right)\cos\left(h\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(h\right)\right)

Sedan använde han att: 

limh0sinh=0\displaystyle \lim_{h \to 0} \sin\left(h\right)=0

Men detta kritiska steg förutsätter väl också att sinus är kontinuerlig, dvs. precis det som ska visas? Annars kan man ju inte dra den slutsatsen, eller? Jag tycker hela "beviset" verkar cirkulärt. Det verkar som om han har visat att sinus är kontinuerlig genom att använda att sinus är kontinuerlig.

Gustor 202
Postad: 21 sep 15:00 Redigerad: 21 sep 15:00

Variabelsubstitutionen är endast giltig om sin är kontinuerlig vid a, det är riktigt. Ett motexempel: Låt f(x) = 0 för alla nollskilda x, och f(0) = 1. Låt g(y) = 0 för alla y. Då går

f(g(y)) mot 1 då y går mot 0, men

f(x) går mot 0 då x går mot 0.

För din andra fråga, så medför det faktum att sin(x) går mot 0 då x går mot 0 att sin(x) är kontinuerlig vid x=0. Beviset du skrivit är alltså inte korrekt, så vitt jag kan se.

naytte 4666 – Moderator
Postad: 21 sep 15:01 Redigerad: 21 sep 15:07

Okej, vilken tur! Ingen annan på föreläsningen sade något om det så jag trodde det var jag som var pantad.

Tack för det snabba svaret!


Tillägg: 21 sep 2024 15:06

Ska dessutom ta upp detta med min föreläsare. Jag tycker generellt att kursen saknar väldigt mycket rigör hittills. Vi bara accepterar massa saker utan att visa dem. Man tycker ju ändå att en universitetskurs i matematik där begrepp som dessa behandlas borde vara lite mer rigorös (och att bevisen borde vara korrekta...).

Gustor 202
Postad: 21 sep 15:12

Ja, I alla fall detta exempel var ju inte så bra. Att sin(x) -> sin(a) då x -> a är ju ett ekvivalent påstående till sin(a + h) -> sin(a) då h -> 0. Variabelbyten måste ju gälla åt båda hållen, så antar man en sak antar man också den andra.

Svara
Close