Bevisa med generell metoder

Du kan ansätta

$f(x) = ax^2+bx+c$

där a, b och c är konstanter (a ≠ 0).  

Beräkna sekantens lutning mellan x-värdena x1 och x2 med Kalles metod.

Beräkna sekantens lutning mellan x-värdena x1 och x2 med m Stinas metod.

Slutsats?

Ja det tänkte jag på att göra. Däremot får jag inte rör svar. 

I Kalles metod blir det 

(x-ax^2+bx+c)/(x-ax^2+bx+c)

Lisa14500 skrev:

Ja det tänkte jag på att göra. Däremot får jag inte rör svar. 

I Kalles metod blir det 

(x-ax^2+bx+c)/(x-ax^2+bx+c)

Med Kalles metod så blir sekantens lutning

$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Börja med att se om du kan förenkla täljaren. 

Dr. G skrev:

Lisa14500 skrev:

Ja det tänkte jag på att göra. Däremot får jag inte rör svar. 

I Kalles metod blir det 

(x-ax^2+bx+c)/(x-ax^2+bx+c)

Med Kalles metod så blir sekantens lutning

$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Börja med att se om du kan förenkla täljaren. 

Jag förstår inte hur jag ska förenkla uttrycket

Spaminlägg rensade. /moderator

Ok, vad blir

$f(x_2)$

i klartext?

Samma sak med 

$f(x_1)$

och deras skillnad. 

f(x2) blir ju 

ax^2+bx+c

f(x1) borde vara detsamma 

fast nu är det inte x utan x1 som ska sättas in i funktionen 

alltså 

a(x1)^2 + bx1 +c

$f(x_2)=ax_2^2 +bx_2+c$

$f(x_1)=ax_1^2 +bx_1+c$

$f(x_2)-f(x_1)=\ldots$

Det blir ju (ax2)^2 + bx2- (ax1)^2 - bx1

I täljaren delat med x2-x1 i nämnaren. Hur förenklar jag vidare?

Bryt ut a och b och faktorisera.

x^2(a+b) / (x2-x1)

Hej,

Om $f(x) = ax^2+bx+c$ så blir derivatan $f^\prime(x) = 2ax+b$

• Kalles lutning blir

    $\displaystyle k_{\text{Kalle}}=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2} = \frac{a\left(x_1^2-x_2^2\right)+b\left(x_1-x_2\right)}{x_1-x_2} = a\left(x_1+x_2\right)+b.$

• Stinas lutning blir

    $\displaystyle k_{\text{Stina}} = \frac{f^\prime\left(x_1\right)+f^\prime\left(x_2\right)}{2}=a\left(x_1+x_2\right)+b.$

Tydligen kan man beräkna sekantens lutning även med Stinas metod, fast det gäller förmodligen endast andragradspolynom; för andra slags funktioner är det Kalles metod som används.

Varför tar du a(x1^2-x2^2) + b(x1-x2)?

Därför att f(x) är ett andragradspolynom.

Förstår fortfarande inte hur du kommer fram till uttrycket i täljaren 

Genom att använda algebra för att förenkla uttrycken.

f(x1) = ax1^2 +bx +c 

f(x2)=ax2^2 +bx+c 

ska man därefter ta f(x1)-f(x2)?

Lisa14500 skrev:

Det blir ju (ax2)^2 + bx2- (ax1)^2 - bx1

I täljaren delat med x2-x1 i nämnaren. Hur förenklar jag vidare?

Det är rätt fram till hit. 

Ser du att det kan faktoriseras som Albiki har gjort om du bryter ut a och b?

EDIT: det är skrivet lite konstigt med parenteser. Menar du

$ax_2^2+bx_2-ax_1^2-bx_1$

?

EDIT2: skrev tydligen fel ovan med x2 där det skulle vara x1, nu rättat.

Ja det är exakt det jag menar. Men det blir lite konstigt för jag skriver inte från datorn.  Jag kan bryta ut bx2

Lisa14500 skrev:

Ja det är exakt det jag menar. Men det blir lite konstigt för jag skriver inte från datorn.  Jag kan bryta ut bx2

Är du med på att

$ax_2^2+bx_2-ax_1^2-bx_1=a(x_2^2-x_1^2)+b(x_2-x_1)$

?

a-termen kan vidare faktoriseras med konjugatgregeln så att uttrycket blir

$a(x_2-x_1)(x_2+x_1)+b(x_2-x_1)$

Ja, hittills är jag med

Dr. G skrev:

Med Kalles metod så blir sekantens lutning

$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Börja med att se om du kan förenkla täljaren. 

Då har täljaren alltså förenklats till

$a(x_2-x_1)(x_2+x_1)+b(x_2-x_1)$

Dela nu med $(x_2-x_1)$. Förenkla. 

Kvar blir det 

a(x2+x1)+b(x2-x1) i täljaren

Nej, titta på det igen. Vad händer med den andra termen?

Vilken andra term?

Jag kanske missförstår dig. 

Vad blir bråket efter division med (x2 - x1)?

Det blir (a+b)(x2-x1)(x2+x1)

Nej. Försök igen! Börja med att bryta ut x₂-x₁ ur a(x₂-x₁)(x₂+x₁)-b(x₂-x₁). Hur ser det ut när du har gjort det?