Bevisa påståendet att n³-n är delbart med 3 om n är ett heltal
Fattar inte lösningen på uppgiften under rubriken.
Jag förstår att man i grund och botten faktoriserar n³ - n = n(n² - 1) = n(n + 1)(n - 1) varav det visar att faktorerna är tre på varandra följande tal. Sen att vi gör en falluppdelning är jag också med på.
Känner heller inte till något divisionsteorem, men att n = 3q, 3q + 1, 3q + 2 är att alla heltal kan skrivas på det sättet och då kommer man kunna faktorisera ut en 3:a som visar att det är delbart med 3.
Man skulle också kunna säga att n = 3q - 1, 3q, 3q + 1 för att få 3 på varandra följande heltal att verifiera.
Men varför byter de inte ut alla n:n i de olika fallen, som jag har färgkodat?
Räcker det inte att säga så här?
Heltalet n3 - n kan faktoriseras till (n-1)·n·(n+1).
Eftersom faktorerna är tre konsekutiva heltal,
så måste ett av dem vara delbart med 3 (för varje värde på n).
Därav följer påståendet.
Tror de väljer att byta ut en specifik factor för att underlätta beviset, i fall: 3q + 1, så stoppar de in den i n - 1 factor för då cancelerar 1:orna och kvar får du 3q och kan faktorisera ut en 3:a. För ett mer fullständigt bevis bör man kanske substituera alla.
Arktos skrev:Räcker det inte att säga så här?
Heltalet n3 - n kan faktoriseras till (n-1)·n·(n+1).
Eftersom faktorerna är tre konsekutiva heltal,
så måste ett av dem vara delbart med 3 (för varje värde på n).Därav följer påståendet.
Det är rimligt men inte särskilt rigoröst. Hur vet du att var tredje heltal är delbart med 3 liksom. Jag menar, det är uppenbart om man tänker några sekunder, men hur formulerar man det algebraiskt?
Det betraktar jag som lika givet som att
vartannat tal är jämnt och vartannat udda,
så att n(n+1) alltid är en produkt av ett jämnt och ett udda tal.
Men det kanske är bra att bevisa, en gång för alla, att
av k konsekutiva tal är minst ett delbart med k ,
så man inte varje gång behöver tänka efter hur det är :-)
Eyo, TIDAB gang?
Men tack för svar, var också lite förrvirrad.. hahaha
Tack för reaktionen.
Andra raden kan jag tolka, men inte den första:
"Eyo, TIDAB gang?"
