19 svar
84 visningar
naytte 4019 – Moderator
Postad: 11 maj 20:58 Redigerad: 11 maj 20:58

Bevisa sats om att infinitesimal kvot är infinitesimalt nära derivata

Halloj!

Jag håller på att renskriva mitt gymnasiearbete som handlar om infinitesimaler och fick feedback om att min handledare ville ha ett bevis av en av satserna jag har använt flitigt. Satsen lyder så här:

Låt f=fxf=f\left( x \right) vara en deriverbar funktion. Låt vidare Δf\Delta f beteckna en infinitesimal förändring i ff motsvarande en infinitesimal förändring Δx\Delta x i xx. För något tal β\beta (kan vara en infinitesimal) gäller att:

ΔfΔx=dfdx+β\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+\beta

Denna sats är hela intiutionen bakom konceptet derivata som det definieras i mitt ramverk. Problemet är att jag inte riktigt vet hur jag ska bevisa det. Det bara kändes väldigt logiskt när jag kom på det. Jag hittade faktiskt en nästan identisk sats i boken Elementary Calculus: an infinitesimal approach av Jerome H. Keisler, men han bevisar den inte, så han tyckte tydligen också att detta är väldigt självklart. Har ni några förslag på bevis? Ni får naturligtvis anta att infinitesimaler är objekt som existerar.

Calle_K 1694
Postad: 12 maj 00:39 Redigerad: 12 maj 01:21

Har tyvärr inte så mycket att hjälpa till med gällande beviset, men vill skriva ut satsen för att göra det lite tydligare, och förhoppningsvis leda i rätt riktning med beviset.


Vi vill visa att 

ε~𝕀, β(ε) : f(x+ε~)-f(x)ε~=limh0f(x+h)-f(x)h+β

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 00:55

Ja precis, men β\beta kan vara noll också (i det fall då kvoten av infinitesimaler faktiskt perfekt motsvarar derivatan).

Calle_K 1694
Postad: 12 maj 00:58
naytte skrev:

Ja precis, men β\beta kan vara noll också (i det fall då kvoten av infinitesimaler faktiskt perfekt motsvarar derivatan).

Har du introducerat någon mängd som innehåller de reella talen och infinitesimalerna? Eller tänker du dig att infinitesimalerna ingår i de reella talen?

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 01:00 Redigerad: 12 maj 01:01

Jag har en utvidgad mängd som jag kallar för (ε)\mathbb{R}(\varepsilon). Denna mängd innehåller alla reella tal, infinitesimaler, multiplikativa inverser till infinitesimaler (oändligheter) och alla linjärkombinationer av oändligheter, infinitesimaler och reella tal. Så det är en utvidgad kropp.

Jag vet, samma beteckning som mängden Dual Numbers... Men det finns tyvärr inte så många olika varianter av paranteser! 

Calle_K 1694
Postad: 12 maj 01:03

Perfekt, då ändrar jag formulering i satsen ovan.

Vidare, tänker du dig att infinitesimalen ε är unik? Eller kan den väljas på olika sätt?

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 01:05

Jag tänker att man kan välja vilken infinitesimal man än vill. Oavsett hur långt bort man rör sig i den "infinitesimala världen" från punkten vi vill utgå ifrån för att beräkna kvoten, kommer man man ligga oändligt nära den. I den "reella världen" skulle vi inte kunna se någon skillnad ändå.

Calle_K 1694
Postad: 12 maj 01:08 Redigerad: 12 maj 01:08

Juste, så varje infinitesimal är ekvivalent med varandra då?

Eller snarare deras representationer "i den reella världen" är identiska, eftersom de där betraktas som samma tal (mer eller mindre)?

Har du någon notation för mängden av infinitesimala tal?

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 01:15 Redigerad: 12 maj 01:15

Eller snarare deras representationer "i den reella världen" är identiska, eftersom de där betraktas som samma tal (mer eller mindre)?

Ja, det kan man säga. Vi kan åtminstone inte se någon skillnad på dem. 

Har du någon notation för mängden av infinitesimala tal?

Nej, men vi kan hitta på någon notation nu, om det behövs. Jag har en funktion som ger den "infinitesimala delen" av ett tal: Inf\mathrm{Inf}. Så om vi t.ex. har p=1+αp=1+\alpha, för någon infinitesimal α\alpha, så skulle Inf(p)=α\mathrm{Inf}(p) = \alpha. Vi kan säga att:

I:={p:Re(p)=0Inf(p)0}\displaystyle I:= \{ p:\mathrm{Re}(p)=0 \wedge\mathrm{Inf}(p)≠0 \}

Re\mathrm{Re} är min "realdelsfunktion". Så i fallet ovan hade Re(p)=1\mathrm{Re}(p) = 1.

Calle_K 1694
Postad: 12 maj 01:18
naytte skrev:

Eller snarare deras representationer "i den reella världen" är identiska, eftersom de där betraktas som samma tal (mer eller mindre)?

Ja, det kan man säga. Vi kan åtminstone inte se någon skillnad på dem. 

Har du någon notation för mängden av infinitesimala tal?

Nej, men vi kan hitta på någon notation nu, om det behövs. Jag har en funktion som ger den "infinitesimala delen" av ett tal: Inf\mathrm{Inf}. Så om vi t.ex. har p=1+αp=1+\alpha, för någon infinitesimal α\alpha, så skulle Inf(p)=α\mathrm{Inf}(p) = \alpha. Vi kan säga att:

I:={p:Re(p)=0Inf(p)0}\displaystyle I:= \{ p:\mathrm{Re}(p)=0 \wedge\mathrm{Inf}(p)≠0 \}

Re\mathrm{Re} är min "realdelsfunktion". Så i fallet ovan hade Re(p)=1\mathrm{Re}(p) = 1.

Det är upp till dig om det behövs eller inte, men om det är någonting som återkommer i ditt arbete skulle jag rekommendera att införa det som en definition i början. I din sats du nämnde i inlägget (och möjligtvis andra satser du har med) kan det vara bra att utnyttja den definitionen.


Inf tror jag tyvärr är upptaget inom matematiken, och framförallt mängdläran, så en annan notation bör du använda för det :)

Men oavsett så låter I bra som beteckning för infinitesimalerna, jag färdigställer satsen i inlägg #1 mha den beteckningen.

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 01:20 Redigerad: 12 maj 01:20

Inf tror jag tyvärr är upptaget inom matematiken

Jo jag vet, men det är så svårt att hitta på ny notation. :(

J*vla mängdteoretiker, de snor min notation... Nej men du har rätt. Egentligen borde jag inte kalla min mängd för (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) heller eftersom den beteckningen faktiskt är upptagen också, likaså Re\mathrm{Re}.


Tillägg: 12 maj 2024 01:21

Oj vad exotiskt det blev med tilden över epsilon. Vad betyder den?

Calle_K 1694
Postad: 12 maj 01:24
naytte skrev:

Oj vad exotiskt det blev med tilden över epsilon. Vad betyder den

Det var helt enkelt för att skilja det med epsilonet som används i R(ε).

Visste inte om du hade några andra standardbeteckningar på infinitesimaler, så la bara till ett tilde ovanför epsilonet haha

Calle_K 1694
Postad: 12 maj 01:27
naytte skrev:

J*vla mängdteoretiker, de snor min notation... Nej men du har rätt. Egentligen borde jag inte kalla min mängd för (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) heller eftersom den beteckningen faktiskt är upptagen också, likaså Re\mathrm{Re}.

Friheten med att skapa nya begrepp är att du även får skapa notationerna till dem! Men visst blir det knepigt när det mesta är upptaget. Du skulle levt för ett några hundra år sedan, då hade det varit lättare att hitta en notation :)

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 01:29

Så sant som det är sagt...

Aja, jag ska gå och lägga mig nu. Kanske får jag en uppenbarelse när jag vaknar? Problemet med den här satsen är att den känns så attans logisk. Det gör det mycket svårare att bevisa den för den känns helt självklar.

Men det var nog en bra idé att skriva upp den ordentligt, så tack så mycket för det! 

God natt!

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 14:08 Redigerad: 12 maj 14:51

Jag fick en idé nu imorse som skulle kunna vara användbar. Då vi betraktar förändringskvoten med infinitesimaler ser vi att f(x+ε~)f(x+\tilde\varepsilon) kan approximeras som f(x)+θf(x) +\theta, för någon infinitesimal θ\theta (förutsatt att kurvan är kontinuerlig runt den aktuella punkten). Det kommer garanterat finnas något tal k(ε)k\in\mathbb{R}(\varepsilon) sådant att θ=kε~\theta = k\tilde\varepsilon. kk kan vara en infinitesimal, reellt, eller en kombination av reella tal och infinitesimaler.

f(x+ε~)-f(x)ε~=f(x)+kε~-f(x)ε~=k\displaystyle \frac{f(x+\tilde{\varepsilon})-f(x)}{\tilde{\varepsilon}}=\frac{f(x)+k\tilde{\varepsilon}-f(x)}{\tilde{\varepsilon}}=k

Kvar blir då talet kk. Om man på något sätt kan visa att kk kommer vara antingen helt reellt eller en kombination av reella tal och infinitesimaler har man i princip visat att Δf/Δxdf/dx\Delta f/ \Delta x \sim \mathrm{d}f/\mathrm{d}x.

Men som sagt bara en tanke. Vet inte om det håller.

EDIT: Relationen \sim avser att två objekt skiljer sig infinitesimalt eller inte alls från varandra.


Tror faktiskt det är allt man behöver. Man måste väl ändå inte visa att man alltid kan hitta ett sådant kk? Det känns mer trivialt än satsen. Men å andra sidan kan man inte alltid förlita sig på intuitionen när det kommer till infinitesimaler...

Jag skrev tal nu men det kanske är bättre att skriva funktion.

Tomten 1704
Postad: 12 maj 15:30

Satsen är trivialt sann om det är derivatan i en punkt vi tittar på. Delta f/delta x är ett tal liksom Df/dx alltså finns talet beta.

Om det däremot är derivatafunktion så kan inte samma beta duga i alla punkter, så då är påståendet falskt såvida inte funktionen är linjär.

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 15:32

Satsen är trivialt sann om det är derivatan i en punkt vi tittar på. Delta f/delta x är ett tal liksom Df/dx alltså finns talet beta.

Precis, det är det jag tänker också! Men tyvärr vill min handledare att jag ska framföra ett bevis, vilket är svårt eftersom det är så trivialt.

Men vad tror du om att visa det som jag gjorde ovan med att skriva om f(x+ε~)f(x+\tilde\varepsilon) som f(x)f(x) + en infinitesimal? Det måste man väl ändå få anta att man kan?

Tomten 1704
Postad: 12 maj 16:06

Det sista du skriver är nog liktydigt med definitionen för att f är kontinuerlig i en punkt x, där f:R—>R. Jag skriver ”nog” innan jag vet vad du menar med ”epsilon-snok”). Än så länge föredrar jag att skriva att till varje positivt r finns ett h sådant att  |f(x+h)-f(x)|<r

Tomten 1704
Postad: 12 maj 16:12

Dina ansträngningar kan ha en motsvarighet i det som kallas Lipschitz- kontinuitet. Om du Googlar på det ordet kanske du kan känna igen några av dina tankar.

naytte 4019 – Moderator
Postad: 12 maj 16:19 Redigerad: 12 maj 16:19

Jag skriver ”nog” innan jag vet vad du menar med ”epsilon-snok”

En godtycklig infinitesimal. Jag har en utvidgad ordningsrelation på min mängd för att ge mina infinitesimaler mening:

f(ε)g(ε)a[f(x)<g(x)  x(0,a)]\displaystyle f(\varepsilon)\prec g(\varepsilon) \iff \exists a\in\mathbb{R}[f(x)< g(x)\;\;\forall x\in(0,a)]

(shoutout till Oggih som föreslog den här definitionen! :D)

ε\varepsilon är "grundinfinitesimalen", varur man kan skapa alla andra infinitesimaler.

Svara Avbryt
Close