Bevisa standardgränsvärdet

x < tan x

x < sin x / cos x

x cos x < sin x

cos x < sin x / x

Varför har tecken ändrat? 

Någon??

Är bara en fråga om att när man har två funktioner så kan deras gränsvärden vara samma även om de är strikt olika på ett intervall. Ta exemplet

$f(x) = 1/x^2$ och $g(x) = 1/x$ på intervallet 0 < x < 1.

Det gäller då att

$f(x) < g(x)$ på intervallet. Strikt olikhet.

Men tar man gränsvärdet mot 0 så är gränsvärdena ändå lika så gränvärdesregeln bör skrivas med inkluderande olikhet.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) \leq \lim_{x \to 0^+} g(x)$

eftersom båda gränsvärdena är 0.

SeriousCephalopod skrev:

Är bara en fråga om att när man har två funktioner så kan deras gränsvärden vara samma även om de är strikt olika på ett intervall. Ta exemplet

$f(x) = 1/x^2$ och $g(x) = 1/x$ på intervallet 0 < x < 1.

Det gäller då att

$f(x) < g(x)$ på intervallet. Strikt olikhet.

Men tar man gränsvärdet mot 0 så är gränsvärdena ändå lika så gränvärdesregeln bör skrivas med inkluderande olikhet.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) \leq \lim_{x \to 0^+} g(x)$

eftersom båda gränsvärdena är 0.

Menade du $f(x)=x^2$ och $g(x)=x$?

tomast80 skrev:

SeriousCephalopod skrev:

Är bara en fråga om att när man har två funktioner så kan deras gränsvärden vara samma även om de är strikt olika på ett intervall. Ta exemplet

$f(x) = 1/x^2$ och $g(x) = 1/x$ på intervallet 0 < x < 1.

Det gäller då att

$f(x) < g(x)$ på intervallet. Strikt olikhet.

Men tar man gränsvärdet mot 0 så är gränsvärdena ändå lika så gränvärdesregeln bör skrivas med inkluderande olikhet.

$\lim_{x \to 0^+} f(x) \leq \lim_{x \to 0^+} g(x)$

eftersom båda gränsvärdena är 0.

Menade du $f(x)=x^2$ och $g(x)=x$?

Ja (eller sannolikare så tänkte jag gränsvärde mot oändligheten först och ändrade mig men ändrade inte funktionerna)