20 svar
158 visningar
naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 17 mar 12:16 Redigerad: 17 mar 15:14

Blir det rätt trots division med noll? - Infinitesimaler

God middag! Detta kommer att bli ett längre inlägg, eftersom jag måste ge lite bakrundsinformation.

Jag har under en period arbetat med en utvidgning av \mathbb{R} som innehåller infinitesimaler och oändligheter (likt hyperrella tal men mindre sofistikerat). Mina tal har i grunden vektorrepresentationer i n\mathbb{R}^n, men i och med att jag har kvoter kan alla tal nu tolkas som en kvot av vektorer. Det första elementet i varje vektor utgör den reella delen, och resten utgör potenser av den infinitesimala delen. Exempelvis skulle:

(0,0,3)=0ε0Realdel+0ε1+3ε2Infinitesimaldelar\displaystyle (0,0,3)=\underbrace{0\varepsilon^0}_{\text{Realdel}}+\underbrace{0\varepsilon^1+3\varepsilon^2}_{\text{Infinitesimaldelar}}

Min mängd kallar jag provisoriskt för (ε)\mathbb{R}(\varepsilon). Jag har två funktioner som mappar mellan (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) och \mathbb{R}:

Re:(ε),(x1,x2,x3,...,xn)x1\displaystyle Re:\mathbb{R}(\varepsilon)\to\mathbb{R}, (x_1,x_2,x_3,...,x_n)\mapsto x_1

Om man har en kvot av två vektorer distribuerar man funktionen över nämnaren och täljaren. Följande regler gäller:

Re(xy)=Re(x)Re(y)Re(\frac{x}{y})=\frac{Re(x)}{Re(y)}

Re(xy)=Re(x)Re(y)Re(xy)=Re(x)Re(y)

Re(x+y)=Re(x)+Re(y)Re(x+y)=Re(x)+Re(y)

Inf:(ε)(ε),(x1,x2,x3,...,xn)(0,x2,x3,...,xn)\displaystyle Inf:\mathbb{R}(\varepsilon)\to\mathbb{R}(\varepsilon), (x_1,x_2,x_3,...,x_n)\mapsto (0,x_2,x_3,...,x_n)

Samma räkneregler gäller här.


Jag har börjat fundera på hur jag ska definiera derivator för funktioner i detta system. En enkel tanke är:

f'(x):=Re(f(x+ε)-f(x)ε)\displaystyle f'(x):=Re(\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\varepsilon})

Om vi skulle låta f(x)=x2f(x)=x^2 skulle vi efter förenkling få:

f'(x)=Re(2x+ε)\displaystyle f'(x)=Re(2x+\varepsilon)

Och eftersom den enda reella delen här är 2x2x blir derivatan 2x2x. So far so good. Men det finns ju en egenskap jag tycker att realdelsfunktionen borde (måste) ha, nämligen:

Re(xy)=Re(x)Re(y)\displaystyle Re(\frac{x}{y})=\frac{Re(x)}{Re(y)}

Om man skulle försöka applicera det direkt på derivatauttrycket skulle man få Re(ε)=0Re(\varepsilon)=0 i nämnaren, men om man skulle kunna dela bort den:

Re(x2)+Re(2xε)+Re(ε2)-Re(x2)Re(ε)=Re(2x)Re(ε)+Re(ε)Re(ε)Re(ε)=Re(2x)+Re(ε)=2x+0\displaystyle \frac{Re(x^2)+Re(2x\varepsilon)+Re(\varepsilon^2)-Re(x^2)}{Re(\varepsilon)}=\frac{Re(2x)Re(\varepsilon)+Re(\varepsilon)Re(\varepsilon)}{Re(\varepsilon)}=Re(2x)+Re(\varepsilon)=2x+0

Det verkar som om jag har gjort något väldigt otillåtet här, analogt med att säga att 7·0+020=7+0\displaystyle \frac{7\cdot0+0^2}{0}=7+0, men jag kan inte komma på en situation där det inte hade fungerat att göra så här.


Jag skulle gärna uppskatta några tankar kring detta, om ni har några! Säg till om det behövs mer information!

Kallaskull 689
Postad: 17 mar 15:00

Vet inte om jag kanske bara inte 100% fattar dina definitioner men om f är en reel värd funktion så f:(x1,x2,...)f(x1,x2,...)f:(x_1,x_2,...)\rightarrow f(x_1,x_2,...)\in \mathbb{R} då kommer väll f(x+ϵ)-f(x)=(f(x+ϵ)-f(x),0,0,...)(ϵ)f(x+\epsilon)-f(x)=(f(x+\epsilon)-f(x),0,0,...)\in \mathbb{R}(\epsilon)Re(f(x+ϵ)-f(x)(0,1,0,...))=Re(f(x+ϵ)-f(x),0,0,...)=0Re(\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{(0,1,0,...)})=Re(f(x+\epsilon)-f(x),0,0,...)=0 eller tänker jag helt knas?

Jag skrev reellvärd utan att tänka. ff är naturligtvis inte reellvärd, eftersom man kan stoppa in icke-reella tal. Ursäkta att jag uttryckte mig felaktigt. Jag ska uppdatera inlägget!


Tillägg: 17 mar 2024 15:17

Man kanske måste ha som krav att Re(xy)=Re(x)Re(y)Re(\frac{x}{y})=\frac{Re(x)}{Re(y)} endast om Re(y) är nollskilt.

Kallaskull 689
Postad: 17 mar 15:25
naytte skrev:

Jag skrev reellvärd utan att tänka. ff är naturligtvis inte reellvärd, eftersom man kan stoppa in icke-reella tal. Ursäkta att jag uttryckte mig felaktigt. Jag ska uppdatera inlägget!


Tillägg: 17 mar 2024 15:17

Man kanske måste ha som krav att Re(xy)=Re(x)Re(y)Re(\frac{x}{y})=\frac{Re(x)}{Re(y)} endast om Re(y) är nollskilt.

Bara för att klargöra någonting jag inte är helt hundra på tänker du att (a1,a2,...)(b1,b2,...)=(a1b1,a2b2,...)\frac{(a_1,a_2,...)}{(b_1,b_2,...)}=(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},...) i (ϵ)\mathbb{R}(\epsilon)?

naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 17 mar 15:33 Redigerad: 17 mar 15:33

Nej, det gör jag inte. Jag har inte definierat division på det sättet. Jag har definierat kvoter som ekvivalensklasser av 2-tuplar för en viss ekvivalensrelation. Så division i den meningen existerar inte. Ett exempel:

ε1+ε=[(ε,1+ε)]={(3ε,3+3ε),(12ε,12+12ε),...,(uε,u(ε+1))},u\displaystyle \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}=[(\varepsilon, 1+\varepsilon)]_\asymp=\{ (3\varepsilon,3+3\varepsilon),(12\varepsilon,12+12\varepsilon),...,(u\varepsilon,u(\varepsilon+1)) \}, u\in\mathbb{Z}

Ska skriva mer utförligt när jag har möjlighet. Ursäkta om det är otydligt.

oggih 1163 – F.d. Moderator
Postad: 17 mar 16:38 Redigerad: 17 mar 16:41

En förutsättning för att Re(xy)=Re(x)Re(y)\operatorname{Re}(\frac{x}{y})=\frac{\operatorname{Re}(x)}{\operatorname{Re}(y)} för x,y[ε]x,y\in\mathbb{R}[\varepsilon] över huvud taget ska ge mening är att Re(y)0\operatorname{Re}(y)\neq 0.

Men det är inget större problem! Förutsatt att y0y\neq 0 så kan vi nämligen alltid "förkorta" både xx och yy med den lägsta potensen i ε\varepsilon som dyker upp i yy, utan att ändra ekvivalensklassen  xy\frac{x}{y}.

Det låter väldigt rimligt!

Skulle du kunna ge ett konkret exempel på att att man kan förkorta bort den lägsta potensen i ε\varepsilon? Jag tror jag förstår vad du menar men bara för säkerhets skull.  

oggih 1163 – F.d. Moderator
Postad: 17 mar 16:54 Redigerad: 17 mar 16:56

Exempel: w=ε2ε+ε2w=\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon+\varepsilon^2}.

Här är realdelen för nämnaren noll, så formeln Re(x/y)=Re(x)/Re(y)\operatorname{Re}(x/y)=\operatorname{Re}(x)/\operatorname{Re}(y) kommer inte ge mening.

Men förhoppningsvis har du definierat din ekvivalensrelation så att ww är lika med ε1+ε\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}, och då kan vi säga att

   Re(w)=0/1=0.\operatorname{Re}(w)=0/1=0\,.

Tack!

Japp, det har jag! Eller, inte i själva ekvivalensrelationen men jag definierade aritmetik för kvoter på ett sätt som gör att man kan förenkla på det sättet. Är det något jag borde ha i min ursprungliga ekvivalensrelation istället?

oggih 1163 – F.d. Moderator
Postad: 17 mar 16:57 Redigerad: 17 mar 17:00

Hur har du definierat ekvivalensrelationen? (Jag antar att du har definierat (ε)\mathbb{R}(\varepsilon) som mängden [ε]×([ε]{0})\frac{\mathbb{R}[\varepsilon]\times (\mathbb{R}[\varepsilon]\setminus\{0\})}{\sim} av ekvivalensklasser för någon ekvivalensrelation \sim.)

naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 17 mar 17:00 Redigerad: 17 mar 17:03

Hoppsan, nu pratade jag i nattmössan. Jag hade faktiskt visst definierat relationen så att det är möjligt. Jag körde på den klassiska:

(x1,y1)(x2,y2)x1y2=x2y1, där  (x1,y1),(x2,y2)[ε]×[ε]{0} \displaystyle (x_1,y_1) \asymp (x_2, y_2) \iff x_1 y_2 = x_2 y_1,\; \text{där}\; \; (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in\mathbb{R}[\varepsilon]\times \mathbb{R}[\varepsilon]\setminus \{0 \} 

Så det finns med i relationen att bråk kan förkortas.

oggih 1163 – F.d. Moderator
Postad: 19 mar 11:58 Redigerad: 19 mar 12:02

Bra!

Nu är bara problemet hur vi ska hantera xy\frac{x}{y} om deg(y)>deg(x)\deg(y)>\deg(x), för då kan vi inte åstadkomma en nollskild realdel i nämnaren (jag var lite överoptimistisk tidigare).

Det hela kokar ner till vad vi vill att Re(1ε)\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon}) ska vara – och det är nog i slutändan en fråga för arkitekten för det här talsystemet att ta ställning till! 

Kan även nämna att du kommer få problem med din räkneregel för multiplikation, eftersom vi enligt den ska ha

   1=Re(1)=Re(ε·1ε)=Re(ε)·Re(1ε)=0·Re(1ε),1=\operatorname{Re}{(1)}=\operatorname{Re}(\varepsilon\cdot\frac{1}{\varepsilon})=\operatorname{Re}{(\varepsilon)}\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})=0\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})\,,

vilket är omöjligt om vi vill att Re(1ε)\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon}) ska vara ett vanligt hederligt reellt tal.

oggih 1163 – F.d. Moderator
Postad: 19 mar 12:00 Redigerad: 19 mar 12:01

Å andra sidan, de här räkneregelerna gäller ju inte helt ovillkorarat för komplexa tal heller. Till exempel är ju

   -1=Re(-1)=Re(i·i)Re(i)·Re(i)=0·0=0.-1=\operatorname{Re}(-1)=\operatorname{Re}(i\cdot i)\neq\operatorname{Re}(i)\cdot \operatorname{Re}(i)=0\cdot 0=0\,.

Så det är kanske för mycket att begära av ditt talsystem!

D4NIEL Online 2525
Postad: 19 mar 13:20 Redigerad: 19 mar 13:40

Jag förstår inte hur man ska få ut något användbart om man tillåter att man "monterar isär gränsvärden" enligt

Re(a·b)=Re(a)·Re(b)\mathrm{Re}(a\cdot b)=\mathrm{Re}(a)\cdot \mathrm{Re}(b)

Det vore som att tillåta

limxx0(ab)=limxx0(a)·limxx0(b)\lim_{x\to x_0}(ab)=\lim_{x\to x_0}(a)\cdot \lim_{x\to x_0}(b)

Vilket man som bekant bara får göra om varje enskilt gränsvärde existerar.

Exempel:

limx0sin(x)xlimx0sin(x)·limx01x\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\neq \lim_{x\to 0}\left(\sin(x)\right)\cdot \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}\right)

naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 19 mar 14:40 Redigerad: 19 mar 14:51
oggih skrev:

Bra!

Nu är bara problemet hur vi ska hantera xy\frac{x}{y} om deg(y)>deg(x)\deg(y)>\deg(x), för då kan vi inte åstadkomma en nollskild realdel i nämnaren (jag var lite överoptimistisk tidigare).

Det hela kokar ner till vad vi vill att Re(1ε)\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon}) ska vara – och det är nog i slutändan en fråga för arkitekten för det här talsystemet att ta ställning till! 

Kan även nämna att du kommer få problem med din räkneregel för multiplikation, eftersom vi enligt den ska ha

   1=Re(1)=Re(ε·1ε)=Re(ε)·Re(1ε)=0·Re(1ε),1=\operatorname{Re}{(1)}=\operatorname{Re}(\varepsilon\cdot\frac{1}{\varepsilon})=\operatorname{Re}{(\varepsilon)}\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})=0\cdot \operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon})\,,

vilket är omöjligt om vi vill att Re(1ε)\operatorname{Re}(\frac{1}{\varepsilon}) ska vara ett vanligt hederligt reellt tal.

Bra poäng! Man skulle kanske kunna införa ett krav att Re(xy)=Re(x)Re(y)\displaystyle \mathrm{Re}(xy)=\mathrm{Re}(x)\mathrm{Re}(y) endast om yy och xx går att hitta mellan två reella tal. I sådana fall skulle en sådan omskrivning bli olaglig eftersom 1/ε1/\varepsilon är större än alla reella tal som finns. 

Skulle du kunna komma på något mer fall där dessa omskrivningar leder till felaktigheter, med kravet att xx och yy måste ligga mellan reella tal?


Jag förstår inte hur man ska få ut något användbart om man tillåter att man "monterar isär gränsvärden"

Det är inte gränsvärden jag försöker montera isär nu, utan bara tal. Jag tyckte det verkade rimligt att man borde kunna göra en sådan omskrivning, t.ex. Re(5ε)=0=Re(5)Re(ε)=5·0=0\displaystyle \mathrm{Re}(5\varepsilon)=0=\mathrm{Re}(5)\mathrm{Re}(\varepsilon)=5\cdot0=0. Men tydligen kan man inte montera isär dem helt utan förbehåll. 


Tillägg: 19 mar 2024 14:40

Och hur får ni till realdelssymbolen utan fraktalfonten?

Och hur får ni till realdelssymbolen utan fraktalfonten?

Man kan klicka på "svara" så ser man hur ett inlägg är gjort. Om jag tar bort dubbla dollartecken från första raden i D4NIELs inlägg ser det ut så här: \mathrm{Re}(a\cdot b)=\mathrm{Re}(a)\cdot \mathrm{Re}(b). Med dubbla dollartecken blir det så här: Re(a·b)=Re(a)·Re(b) \mathrm{Re}(a\cdot b)=\mathrm{Re}(a)\cdot \mathrm{Re}(b)

D4NIEL Online 2525
Postad: 19 mar 15:41 Redigerad: 19 mar 16:02
naytte skrev:
Det är inte gränsvärden jag försöker montera isär nu, utan bara tal. Jag tyckte det verkade rimligt att man borde kunna göra en sådan omskrivning, t.ex. Re(5ε)=0=Re(5)Re(ε)=5·0=0\displaystyle \mathrm{Re}(5\varepsilon)=0=\mathrm{Re}(5)\mathrm{Re}(\varepsilon)=5\cdot0=0. Men tydligen kan man inte montera isär dem helt utan förbehåll. 

Ett gränsvärde aa är ett tal, på lika fot med alla andra ändliga tal :)

Exakt vilka villkor du vill påföra dina tal för att få "montera isär" dem beror på vad syftet med dina tal egentligen är och hur operationerna är definierade. Men en bra början kan vara att studera hur räknereglerna för gränsvärden härleds i den "vanliga" analysen och sedan låna lite idéer därifrån.

BTW; har du definierat dina operationer i någon tråd någonstans?

Tillägg:

Om du har följande tal:

a=5+ε+3ϵ2a=5+\varepsilon+3\epsilon^2

b=5+εb=5+\varepsilon

c=ε2c=\varepsilon^2

Vill du väl att

Rea-bc=3Reac-Rebc\displaystyle \mathrm{Re}\left(\frac{a-b}{c}\right)=3\neq \mathrm{Re}\left(\frac{a}{c}\right) - \mathrm{Re}\left(\frac{b}{c}\right)

naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 19 mar 16:47 Redigerad: 19 mar 17:06

Men en bra början kan vara att studera hur räknereglerna för gränsvärden härleds i den "vanliga" analysen och sedan låna lite idéer därifrån.

Det ska jag göra!

Vill du väl att...

Ja, precis. Jag tror att ett krav man bör ha egentligen är att man bara får distribuera in funktionen om nämnaren inte blir noll!

BTW; har du definierat dina operationer i någon tråd någonstans?

Nej, det har jag inte, men jag kan göra det kortfattat här. Mitt system består i nuläget av två mängder, [ε]\mathbb{R}[\varepsilon] och (ε)\mathbb{R}(\varepsilon).

[ε]\mathbb{R}[\varepsilon] ett (euklidiskt) vektorrum med den vanliga euklidiska normen.

Varje element i [ε]\mathbb{R}[\varepsilon] har då naturligtvis en vektorrepresenation, t.ex:

1+ε=(1,1)\displaystyle 1+\varepsilon=(1,1)

eε=(1,1,12!,13!,14!,...)\displaystyle e^\varepsilon=(1,1,\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\frac{1}{4!},...)

Addition av två vektorer görs termvis och multiplikationen som gäller här är Cauchymultiplikation. Ovan såg du hur jag definierade kvoter. Utvidgningen av ++ och ·\cdot är då:

pq·uv:=puqv\displaystyle \frac{p}{q}\cdot \frac{u}{v}:=\frac{pu}{qv}

pq+uv:=pv+qvqv\displaystyle \frac{p}{q}+\frac{u}{v}:=\frac{pv+qv}{qv}

Mängden av alla kvoter är (ε)\mathbb{R}(\varepsilon).

oggih 1163 – F.d. Moderator
Postad: 19 mar 18:24 Redigerad: 19 mar 18:36

Det här är ett annat litet problem:

Talet eε:=(10!,11!,12!,)e^\varepsilon:=(\frac{1}{0!},\frac{1}{1!},\frac{1}{2!},\ldots) kommer inte att vara ett element i [ε]\mathbb{R}[\varepsilon] eftersom det har oändligt många nollskillda koordinater, vilket polynom inte får ha.

(Ett sätt att komma runt detta skulle kunna vara att jobba med mängden Puiseux-serier {{ε}}\mathbb{R}\{\!\{\varepsilon\}\!\} i stället, som jag tror vi diskuterade i PM någon gång.)

naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 19 mar 20:17 Redigerad: 19 mar 20:37

Det kanske var dumt att använda beteckningen [ε]\displaystyle \mathbb{R}[\varepsilon] eftersom det antyder att mängden bara innehåller polynom. 

Jag kanske är helt ute och cyklar i mitt resonemang (får se vad min handledare har att säga), men det verkar oproblematiskt att definiera exp(x)\exp(x) för x[ε]x\in\mathbb{R}[\varepsilon] enligt:

exp:[ε][ε],xk=0xkk!\displaystyle \exp:\mathbb{R}[\varepsilon] \to \mathbb{R}[\varepsilon], x\mapsto \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}


De kriterier som måste uppfyllas är väl:

  • Vi måste veta hur vi multiplicerar våra vektorer
  • Vi måste veta att potensserien är konvergent i vektorrummet för alla xx

Sedan gör vi helt enkelt definitionerna:

eε=e(0,1):=k=0(0,1)kk!\displaystyle e^{\varepsilon}=e^{(0,1)}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(0,1)^{k}}{k!}

e=e(1,0):=k=0(1,0)kk!\displaystyle e=e^{(1,0)}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1,0)^{k}}{k!}


Men detta kanske kräver att man utvidgar mängden? För att förtydliga att detta blir en vektor med oändligt många nollskilda element.

naytte 3722 – Tillträdande Moderator
Postad: 20 mar 15:49 Redigerad: 20 mar 15:50

Jag har faktiskt en fråga om detta medan jag väntar på respons.

Jag arbetar ju i ett vektorrum jag har skapat. Detta vektorrum är egentligen oändligtdimensionellt, och har den vanliga euklidiska normen. Tror ni att man kan tänka på sträcka och avstånd i ett sådant vektorrum på samma sätt som man kan göra i 3-dimensionella vektorrum?

Min intuitiva tanke för varför exponentialfunktionen måste vara väldefinierad är att "sträckan" (med avseende på normen) man rör sig för att nå den punkten måste vara ändlig. Alltså, man skulle kunna betrakta:

k=0xkk!\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left\| x \right\|^k}{k!}

Vi vet att denna summa konvergerar eftersom den, som bekant ur den reella analysen, är konvergent för alla reella xx. Om sträckan är konvergent borde ju den vanliga summan rimligtvis vara konvergent också, eftersom man förflyttar sig en ändlig sträcka i rummet. 

Det är ungefär så jag resonerar intuitivt. Vad tror ni om det? Kan man föreställa sig sträcka och längd på samma sätt här som i finita vektorrum? (detta är ju i princip identiskt med en liknande intuition för varför exponentialfunktioen måste vara väldefinerad för komplexa argument)

Svara Avbryt
Close