5 svar
99 visningar
lundda 6
Postad: 27 sep 2020 Redigerad: 27 sep 2020

Blockmatriser

Jag vill bevisa att blockmatrisen [ A B har det(M)=det(A)det(D-CA-1B) om A-1 existerar och A samt B är kvadratiska.
                                                               C D]

Hur ska jag börja då?
Jag startade med att bevisa att det(A)det(D-CA-1B)=det(AD-CB) men det(AD-CB) gäller ju endast om AC=CA men det kan jag ju inte veta?

Freewheeling 213
Postad: 28 sep 2020 Redigerad: 28 sep 2020

Om AA och BB är kvadratiska så måste CC och DD också vara kvadratiska. Säg att AA och BB har dimension n×nn \times n och att CC och DD har dimension m×mm \times m. Testa försöka skriva din blockmatris ABCD\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} som en produkt av A0CIm×m\begin{bmatrix} A & 0 \\ C & I_{m \times m} \end{bmatrix} och någon annan blockmatris och se vad du får. Du vet att determinanten av A0CIm×m\begin{bmatrix} A & 0 \\ C & I_{m \times m} \end{bmatrix} är det(A)\text{det}(A) och förhoppningsvis så kommer determinanten av den andra blockmatrisen i produkten då att vara det(D-CA-1B)\text{det}(D-CA^{-1}B).

lund 237
Postad: 28 sep 2020 Redigerad: 28 sep 2020

Men om produkten blir följande:

Hur bevisar detta att det(M)=det(A)det(D − CA−1B)?

Freewheeling 213
Postad: 28 sep 2020 Redigerad: 28 sep 2020

Determinanten av den första blockmatrisen är det(A)\text{det(A)} och determinanten av den andra blockmatrisen är det(D-CA-1B)\text{det}(D-CA^{-1}B).

lundda 6
Postad: 28 sep 2020

Tack för din hjälp! Men måste man inte på något sätt visa hur man kom fram till det? Det vill säga hur man kom fram till den andra matrisen?

Freewheeling 213
Postad: 28 sep 2020 Redigerad: 28 sep 2020

Det räcker nog med att visa att produkten blir den ursprungliga matrisen ABCD\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}. Men för att ge lite motivation kring hur vi kommer fram till faktoriseringen av den ursprungliga matrisen så kan vi resonera enligt följande. Eftersom att vi vill komma fram till att determinanten av den ursprungliga matrisen är det(A)det(D-CA-1B)\text{det}(A)\text{det}(D-CA^{-1}B) så väljer vi först någon matris som vi vet kommer ha determinanten det(A)\text{det}(A), vilket uppfylls av A0CIm×m\begin{bmatrix} A & 0 \\ C & I_{m \times m} \end{bmatrix}. Vi ska då ha att

ABCD=A0CIm×mXYZW\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ C & I_{m \times m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix},

där X,Y,Z,WX,Y,Z,W är några matriser som vi nu låtsas inte känna till. Enligt räknereglerna för (block)matrismultiplikation får vi då matrisekvationerna

AX+0Z=AAX + 0Z = A,

AY+0W=BAY + 0W = B

CX+Im×mZ=CCX + I_{m \times m}Z = C,

CY+Im×mW=DCY + I_{m \times m}W = D.

Den första ekvationen ger X=In×nX=I_{n \times n} varpå den tredje då ger Z=0Z=0. Vidare så ger den andra ekvationen att Y=A-1BY = A^{-1}B. Då blir den fjärde ekvationen CA-1B+W=DCA^{-1}B + W = D vilket medför W=D-CA-1BW=D-CA^{-1}B.

Svara Avbryt
Close