"Bryr sig" funktioner om strukturen på värdemängden?

Hej!

Antag att vi studerar en karta $f: D \to V$ där $D$ är någon domän och $V\equiv \mathbb{R}^n$ är den kartesiska produkten $\underbrace{\mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}}_{n\text{ ggr}}$ utan ytterligare struktur. Vi definierar sedan en funktion $f^\prime: D \to V^\prime$ där $V^\prime$ har samma element som $V$ fast nu också ytterligare struktur, t.ex. en komponentvis addition. $V$ och $V^\prime$ är värdemängder i båda fallen.

Är $f$ och $f^\prime$ samma funktion eller olika funktioner? Å ena sidan är elementen i mängderna som funktionen skickar in elemet ur $D$ till exakt likadana mängdteoretiskt, men å andra sidan finns det en operation definierad för elementen i den ena men inte den andra. Jag är lite osäker på hur man ska tänka här.

Anledningen till att jag frågar är att jag har sett definitioner av kartor där man skickar element från en mängd till en som mängd isomorf mängd men där den senare har annan struktur än den föregående.

I exempelvis affina rum är punktrummet $\mathbb{A}$ och vektorrummet $V$ identiska som mängder men de har inte samma struktur. Ett affint rum har per definition en karta $\mathbb{A} \times \mathbb{A} \ni (P,Q) \mapsto \mathbf{v} \in V$ och man tillåter sig förstås addera element i $V$ , så $P-Q + P - Q$ är definierat, men inte t.ex. $P+Q$ . Det bara verkar lite konstigt att man får göra detta bara för att $V$ är kodomänen till kartan eftersom kartan själv inte "ser" någon skillnad på element i $\mathbb{A}$ och $V$ .

Är $f$ och $f′$ samma funktion eller olika funktioner?

Det beror så klart på definitionen man använder. Men det vanliga är nog att domän och kodomän endast är mängder. I det fallet är de samma, så länge vi pratar om mängdteoretiska funktioner och inte t.ex. homomorfier.

Det bara verkar lite konstigt att man får göra detta bara

Jag är inte helt säker på om jag förstår vad det är som känns konstigt. Operationerna $P-Q+P-Q$ och $P+Q$ är inte definierade på $\mathbb{A}$ . Elementen må vara samma i $\mathbb{A}$ och $V$ , men detta är väl inte konstigare än att säga t.ex. "det rationella talet 3" eller "det reella talet 3" eller "heltalet 3".

Det kanske inte är så konstigt... Det bara känns lite märkligt. Men man kanske kan göra allt lite explicit genom att skriva något i stil med nedanstående?

$\displaystyle (\mathbb{A}\times\mathbb{A},-)\ni(P,Q)\mapsto \mathbf{v}\in (V,+,\cdot)$

Är inte $(P,Q)\mapsto v$ precis det som definierar $P-Q$ ?

Det finns flera olika sätt att se på saken, men jag brukar tänka att ett affint rum är en trippel $(A,V,\varphi)$ där $A$ är en mängd punkter, $V$ ett vektorrum och $\varphi: A\times V\to A$ en (fri och transitiv) gruppverkan på (den additiva gruppen av) $V$ .

Med skrivsättet $a+v$ menar man då egentligen $\varphi(a,v)$ , vilket vi tolkar som den punkt i $A$ vi hamnar på om vi från $a$ förflyttar oss med $v$ .

Att gruppverkan är transitiv och fri innebär att det för alla $a,b\in A$ finns ett unikt $v\in V$ som tar $a$ till $b$ , dvs. sådant att $a+v=b$ . Vi kan beteckna detta $v$ med $b-a$ . Notera dock att detta inte är någon subtraktion i $A$ , utan ett element i $V$ . Eftersom detta $v$ är unikt för varje par $a,b$ så har vi en funktion $A\times A\to V$ given av $(a,b)\mapsto b-a$ . Detta är alltså inte en operation på $A$ .

Mycket av detta blir lite förvirrande när både $A=\mathbb{R}^n$ och $V=\mathbb{R}^n$ . Teoretiskt är det inga problem, men det blir svårare att hålla det affina rummet och vektorrummet separerade i sina resonemang eller tankegångar.

Jag tror att mitt problem kan summeras kokas ned till frågan,

"Låt $\mathbb{A}=V=\mathbb{R}^3$ . Om någon skriver t.ex. (1,2,3) + (1,2,3), hur ska man veta om detta är definierat eller inte (vi vet ju inte om elementen kommer från $V$ eller $\mathbb A$ eller båda)?"

Men detta problem är ju inte unikt på något sätt för affina rum egentligen. Om någon ger oss två reella tal $3$ och $5$ går det ju inte att veta huruvida $3+5$ är definierat eller inte utan att personen som ger oss talen berätter om vilken struktur han har utrustat mängden med; vi förstår att det är tillåtet endast genom konvention. Och det är väl egentligen samma situation här.

Om någon skriver $(1,2,3)+(1,2,3)$ så får man väl bara anta att de menar vektorer, eftersom det i annat fall inte betyder något. I denna situation finns det bara en betydelse för +, nämligen vektorrummets addition. I andra fall framgår det ofta av sammanhanget vad som syftas på.

Vill man vara explicit kan man ju alltid tillägga att $(1,2,3)\in V$ , men det brukar i princip alltid vara underförstått.

Svara

Visa senaste svar