Centrala gränsvärdesatsen

Mycket är korrekt men väntevärdet av sticksprovsmedelvärdet är bara $\mu$ eftersom du också kan bryta ut summan som gör att det blir $n/n$. Om du ändrar det i hela din lösning blir det korrekt.

$n$ för $Z_n$ är bara antal värden. $Z_n$ brukar man benämna den nydefinierade slumpvariabeln man får av att ”justera” sin slumpvariabel för normalfördelningen så att det blir en standardnormalfördelning. För denna nya slumpvariabel $Z_n$ finns nämligen färdiga värden att hämta ur en tabell för dess fördelningsfunktion, som också skrivs $\Phi (x)$ för att den är så vanlig. 

Tillägg: 17 maj 2025 09:35

Jag läste fel. Ditt uttryck fungerar också. Såg inte att du skrivit $\sqrt{n*\sigma ^2}$.

MrPotatohead skrev:

Mycket är korrekt men väntevärdet av sticksprovsmedelvärdet är bara $\mu$ eftersom du också kan bryta ut summan som gör att det blir $n/n$. Om du ändrar det i hela din lösning blir det korrekt.

$n$ för $Z_n$ är bara antal värden. $Z_n$ brukar man benämna den nydefinierade slumpvariabeln man får av att ”justera” sin slumpvariabel för normalfördelningen så att det blir en standardnormalfördelning. För denna nya slumpvariabel $Z_n$ finns nämligen färdiga värden att hämta ur en tabell för dess fördelningsfunktion, som också skrivs $\Phi (x)$ för att den är så vanlig. 

Tackar. En fråga, generellt så är Var[M_n(X)]=Var[1/n (X₁+X₂+...+X_n)]=1/n Var[X], om X₁,X₂,...,n är iid. Men i vårat fall framstår det i uppgift (b) att X₁,X₂,...,n är Gaussiska, blir då Var[M_n(X)]=Var[1/n (X₁+X₂+...+X_n)]=Var[n/n X]=Var[X₁]=...=Var[X_n] ?

Du vill använda formeln för stickprovsmedelvärdet, som är: 

$Z_n = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}}$.

Nu använder du formeln för summan av observationer där man aldrig delar med $n$. 

Inte riktigt. När man flyttar ut något ur en varians så blir det upphöjt till 2. Alltså: 

$\displaystyle Var(1/n \sum^n_{k=1} X_k) = 1/n^2 * Var(\sum^n_{k=1} X_k) =1/n^2 *\sum^n_{k=1} *Var(X_1) =1/n^2 * n * Var(X_1)$.

Tillägg: 17 maj 2025 09:49

Jag ursäktar verkligen hur rörigt detta blev. 

MrPotatohead skrev:

Du vill använda formeln för stickprovsmedelvärdet, som är: 

$Z_n = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}}$.

Nu använder du formeln för summan av observationer där man aldrig delar med $n$. 

---

Inte riktigt. När man flyttar ut något ur en varians så blir det upphöjt till 2. Alltså: 

$\displaystyle Var(1/n \sum^n_{k=1} X_k) = 1/n^2 * Var(\sum^n_{k=1} X_k) =1/n^2 *\sum^n_{k=1} *Var(X_1) =1/n^2 * n * Var(X_1)$.

---

Tillägg: 17 maj 2025 09:49

Jag ursäktar verkligen hur rörigt detta blev. 

Vi kan använda formeln för $Z_n=\dfrac{W_n-E[W_n]}{Var{W_n}}$ men denna gäller endast då W_n=X₁+...+X_n är iid. Vill vi använda denna formeln får vi skriva om W_n=nM_n(X). Alltså måste omskrivningar i täljare och nämnare göras, och då får vi den formeln du skrev. Se beräkningarna nedan. Allt gott.

Härligt jobbat.