9 svar
53 visningar
solaris är nöjd med hjälpen!
solaris 216
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

cirkelintegral för x dy för halvcirkeln

Hej jag har den här uppgiften (nr17) 

med facit:

I min lösning har jag samma parametriseringar och gränser. Min jacobian blir a och x = acost. Bör inte integralen bli 0πa2cost  dt

istället för cos^2t ? Sen så vet jag att man måste ta hänsyn till riktningen men hur implementerar jag det?

Fick du att y=a sin(t)? Vad är derivatan av a sin(t)?

solaris 216
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

varför skulle jag beräkna derivatan av y ? Är det för att jag gör ett avriabelbyte med y ? men jag tänkte att jaobianen rättar till det (jacobianen = a). Jaha du menar att man skall använda sig av F(r(t))·r'(t)

men blir inte det acost0·-asintacostdt

solaris skrev:

...

men blir inte det acost0·-asintacostdt

Och vad blir det, när du multiplicerar ihop det?

solaris 216
Postad: 1 jun 2019

Blir det inte  -a2sin2t0.5

Vad blir a cos t0·-a sin ta cos t?

solaris 216
Postad: 2 jun 2019

Jag skrev ju det. Det är ju skalärmultiplikation. Så a*cost*(-a*sint)+0*(acost) = -a^2costsint = (sintcost = 0.5sin2t) = -0.5*a^2*sin2t.

Har jag fel? För det här är inte samma som i facit. Dvs a2cos2t

AlvinB 3030
Postad: 2 jun 2019 Redigerad: 2 jun 2019

Vilken är integralen du skall beräkna? Är det denna?

Cy dx+x dy\displaystyle\int_{\mathcal{C}}y\ dx+x\ dy

I facit delar man upp denna integral i två och integrerar fältets xx-komponent (yy) och fältets yy-komponent (xx) separat, d.v.s.

Cy dx+x dy=Cy dx+Cx dy\displaystyle\int_{\mathcal{C}}y\ dx+x\ dy=\int_{\mathcal{C}}y\ dx+\int_{\mathcal{C}}x\ dy

När du skall beräkna

C2y dx=\displaystyle\int_{\mathcal{C}_2} y\ dx=

får du att F(r(t))=(asin(t),0)\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(a\sin(t),0) (eftersom F=(y,0)\mathbf{F}=(y,0)). Det ger istället skalärprodukten:

=0πasint,0·-asint,acost dt=...=-πa22=\displaystyle\int_0^\pi\left(a\sin\left(t\right),0\right)\cdot\left(-a\sin\left(t\right),a\cos\left(t\right)\right)\ dt=...=-\frac{\pi a^2}{2}

vilket är samma som facit kommit fram till.

Jag måste även nämna ett annat sätt att lösa den här uppgiften, nämligen Greens formel! Jag vet inte om du lärt känna den fullt ut, men den säger nämligen att för en sluten kurva γ\gamma som innesluter området DD gäller:

γP dx+Q dy=DQx-Py dxdy\displaystyle\oint_\gamma P\ dx+Q\ dy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dxdy

I vårt fall är detta väldigt gynnsamt. Eftersom vår kurva definieras som randen till halvcirkelskivan D={(x,y)|x2+y2a2,y0}D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2,y\geq0\} och P=yP=y och  Q=xQ=x ger Greens formel direkt:

Cy dx+x dy=D1-1 dxdy=D0 dxdy=0\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}y\ dx+x\ dy=\iint_D 1-1\ dxdy=\iint_D 0\ dxdy=0

Och med så få beräkningar kan vi konstatera att integralens värde är noll!

solaris 216
Postad: 2 jun 2019

Tack! jag misade att x dy , då är F =0x och inte x0

:D

AlvinB 3030
Postad: 2 jun 2019
solaris skrev:

Tack! jag misade att x dy , då är F =0x och inte x0

:D

Just precis.

Svara Avbryt
Close