Contour integral

Har du ritat kurvan |z| = 2 och integrandens singulära punkter?

Din integral är till och med enklare än den på MathSE. Du har ju bara en pol (diskontinuitet), medans de har två! (Och så är ingen av polerna på själva kurvan)

Du behöver alltså egentligen inte använda Residysatsen, utan det duger med en rak applicering av Cauchys integralformel.

AlvinB skrev:

Din integral är till och med enklare än den på MathSE. Du har ju bara en pol (diskontinuitet), medans de har två! (Och så är ingen av polerna på själva kurvan)

Du behöver alltså egentligen inte använda Residysatsen, utan det duger med en rak applicering av Cauchys integralformel.

Jaha. Och om man hade haft tre (& högre??) är det också bättre och använda residysatsen? 

Dr. G skrev:

Har du ritat kurvan |z| = 2 och integrandens singulära punkter?

Jag undrar lite hur man ska tänka dig. För om man har defintionnen z=a+bi, då får ju inte a=1 och b =1 för då får vi 0 i nämnaren? Eller övertänker jag?

men till din fråga. Nej, det är ju cirkel då med r=2 right?

Ja det är en cirkel med r=2. Sen ritar du ut den punkten du räknade fram för att se om den ligger på, innanför eller utanför cirkeln.

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

Din integral är till och med enklare än den på MathSE. Du har ju bara en pol (diskontinuitet), medans de har två! (Och så är ingen av polerna på själva kurvan)

Du behöver alltså egentligen inte använda Residysatsen, utan det duger med en rak applicering av Cauchys integralformel.

Jaha. Och om man hade haft tre (& högre??) är det också bättre och använda residysatsen? 

Jag tycker residysatsen är smidigast för allting med två eller fler (av kurvan inneslutna) poler.

Om du behöver fräscha upp minnet diskuterade vi olika metoder för att beräkna kurvintegraler här:

https://www.pluggakuten.se/trad/analytisk-funktion1/?order=all#post-61135a85-7535-411c-b13e-a9c400b98f1b

AlvinB skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Din integral är till och med enklare än den på MathSE. Du har ju bara en pol (diskontinuitet), medans de har två! (Och så är ingen av polerna på själva kurvan)

Du behöver alltså egentligen inte använda Residysatsen, utan det duger med en rak applicering av Cauchys integralformel.

Jaha. Och om man hade haft tre (& högre??) är det också bättre och använda residysatsen? 

Jag tycker residysatsen är smidigast för allting med två eller fler (av kurvan inneslutna) poler.

Om du behöver fräscha upp minnet diskuterade vi olika metoder för att beräkna kurvintegraler här:

https://www.pluggakuten.se/trad/analytisk-funktion1/?order=all#post-61135a85-7535-411c-b13e-a9c400b98f1b

Jag undrar lite hur man ska tänka dig. För om man har defintionnen $z=a+bi$, då får ju inte $a=1$ och $b =1$ för då får vi 0 i nämnaren? Eller övertänker jag? 

för då jag tänker om jag ska göra då något i stil med: 

$\frac{e^{3(a+bi)i}}{1+i-(a+bi)}$

Och de punkterna där de inte är definerat så kan vi skriva ngt: 

Så för $a=-1$ in i $: \frac{e^{3(-1+bi)i}}{1+i-(-1+bi)} = \frac{e^{-3i-3b}}{2-i-bi} =$ 

jag vet inte hur jag ska tänka där faktiskt.  Det där ser konstigt ut. 

Hela grejjen med konturintegraler är ju att det måste bli delat på noll i någon punkt. Annars blir hela integralen noll, och det skulle ju bli tråkigt ;P Det är den punkten, 1+i, som är din pol. Pol betyder punkt där funktionen inte är definerad. Så värdet på din kurva får du genom att plussa ihop värdet i alla dina poler som ligger innanför området. Så i det här fallet blir det en punkt du behöver räkna på. Var det där du satt fast?

Som du konstaterat är $z_0=1+i$ en punkt där funktionen har en pol. Använd nu Cauchys integralformel:

$\displaystyle f\left(z_0\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\ dz$