Cool uppgift: vilket jämviktstillstånd ställer in sig då gasen expanderar?

Vi kan börja med att fundera kring vad som karaktäriserar jämviktstillståndet som ställer in sig. Rimligtvis borde kolven inte längre röra på sig, och vi borde ha $PA=k\ell$; från mekaniken vet vi att nettokraften på kolven måste vara noll för att accelerationen ska vara noll.

Vi kan också visa termodynamiskt att denna tillståndsekvation karaktäriserar det slutgiltiga jämviktstillståndet. Fjädern i vår uppgift har en entropifunktion som är identiskt noll, varför endast gasen bidrar till systemets entropi. Eftersom en ideal gas är ett enkelt, kompressibelt system karaktäriseras dess termodynamik i detta fall fullständigt av dess interna energi $U$ och dess volym $V$. Således har vi:

$\displaystyle S=S(U,V)$

Vidare kan parametrisera $U$ och $V$ i fjäderns utsträckning $\ell$:

$\displaystyle U\left(\ell\right)=U_0-\frac{k\ell^2}{2}$

$\displaystyle V\left(\ell\right) = \frac{AL}{2}+A\ell$

Parametriseringen av volymen följer av geometri, men det finns en del att säga om den interna energin. Låt oss anta att vi skruvar loss kolven, låter den expandera så att fjädern sträcks ut med $\ell$, och sedan skruvar fast den igen och låter gasen nå jämvikt. Låt oss kalla förändringen i gasens interna energi $\Delta U$. Vi har alltså:

$\displaystyle U\left(\ell\right) = U_0+\Delta U\left(\ell\right)$

Eftersom $U$ är en tillståndsfunktion spelar det ingen roll hur förändringen från det initiala tillståndet till det nuvarande tillståndet gick till; $\Delta U$ är identisk för alla sådana förändringar. Särskilt gäller att om vi skulle låta gasen expandera i infinitesimala steg och låta den nå jämvikt mellan varje steg, skulle vi enligt Hookes lag och termodynamikens första huvudsats ha att

$\displaystyle dW=dU=-k\ell d\ell$

Om vi integrerar denna storhet får vi exakt $\Delta U$ även för vår process, eftersom $U$ som sagt är en tillståndsfunktion. Detta motiverar formen på parametriseringen av $U$.

Principen om maximal entropi säger att de fria parametrarna i systemet antar de värden som maximerar $S$ över mångfalden av begränsade (engleska: constrained) jämviktstillstånd. Om vi bildar differentialen $dS$ har vi då

$\displaystyle dS=\frac{\partial S}{\partial U}\frac{d U}{d\ell}d\ell+\frac{\partial S}{\partial V}\frac{d V}{d\ell}d\ell=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\frac{d U}{d\ell}+\frac{\partial S}{\partial V}\frac{d V}{d\ell}\right)d\ell$

Maximal entropi motsvarar alltså $dS=0$ för alla infinintesimala $d\ell$. Intuitivt kan vi tänka att detta innebär att om man gör en infinitesimal förändring $d\ell$ i utsträckningen $\ell$, och "rör sig" längs tangentplanet till entropytan på det sätt som motsvarar denna förändring, ska förändringen i entropi längs planet vara noll — planet ska alltså vara platt vid ett extremum!

$\displaystyle \frac{\partial S}{\partial U}\frac{d U}{d\ell}+\frac{\partial S}{\partial V}\frac{d V}{d\ell}=0$

Eftersom vi har explicita uttryck för $U$ och $V$ som funktioner av $\ell$ är det inga problem att derivera, och vi får

$\displaystyle \frac{1}{T}\left(-k\ell\right)+\frac{P}{T}A=0$

vilket, som förväntat, är precis ekvivalent med

$\displaystyle PA=k\ell$

$l=\frac{\sqrt{9L^2+192NR{T}_0/k}-3L}{16}?$

Jag får samma svar! Då är det ju bara att stoppa in detta i tillståndsekvationen $U=3/2NRT$ för att bestämma $T$, sedan tar vi fram $P$ genom $P(\ell)A=k\ell$ för att tillsammans med $T$ bestämma $V$ ur ideala gaslagen.

Snyggt!

b)-uppgiften, då? :)

Ja det måste det bli. Är inte det inte ett postulat i termodynamiken - att ett slutet system alltid går mot termodynamisk jämvikt om det lämnas ifred.