Cylindriska koordinater

I cylindriska koordinater ges området av en vanlig rak, cirkulär cylinder av

$x(r,\theta) = r\cos\theta$

$y(r,\theta) = r\sin\theta$

$z=z$

där $r\in [0,3]$, $\theta \in (0,2\pi]$ och $z\in [0,h]$.

Nu har vi dock också kravet om att $z$ alltid ska vara "under" den cirkulära konen vi har skurit ut. Därför ligger $z$ faktiskt inom $[0, hr/3]$.

Jag skulle alltså svara:

$\displaystyle \mathcal{C}:=\{ (r,\theta,z)\in\mathbb{R}^3 :r\in[0,3]\; \text{och} \; \theta\in(0,2\pi]\;\text{och}\; z\in [0,hr/3] \}$

naytte skrev:

I cylindriska koordinater ges området av en vanlig rak, cirkulär cylinder av

$x(r,\theta) = r\cos\theta$

$y(r,\theta) = r\sin\theta$

$z=z$

där $r\in [0,3]$, $\theta \in (0,2\pi]$ och $z\in [0,h]$.

Nu har vi dock också kravet om att $z$ alltid ska vara "under" den cirkulära konen vi har skurit ut. Därför går $z$ faktiskt från $[0, 5r/3]$.

Jag skulle alltså svara:

$\displaystyle \mathcal{C}:=\{ (r,\theta,z)\in\mathbb{R}^3 :r\in[0,3]\; \text{och} \; \theta\in(0,2\pi]\;\text{och}\; z\in [0,hr/3] \}$

hur får man fram att "Nu har vi dock också kravet om att z alltid ska vara "under" den cirkulära konen vi har skurit ut. Därför går z faktiskt från [0,5r/3]." ?

Jag redigerade inlägget efter att du hade sett det. Den övre gränsen i intervallet ska vara $hr/3$. Jag bara tänkte att i tvärsnitt ser en sådan kon ut som två raka linjer. Låt oss anta att vi studerar tvärsnittet i $xz$-planet:

Så om vi kan uttrycka någon av dessa linjer i kartesiska koordinater kan vi få fram intervallet för $z$. Låt oss studera den högra. Vi vet att $(0,0)$ ligger på linjen och vi vet också att $(3,h)$ ligger på den. Så linjen blir $z=hx/3$. I $xz$-planet sammanfaller $r$ med $x$, så i allmänhet är beroendet $z=hr/3$ (konen är rotationssymmetrisk), vilket innebär att vi kräver att $z\in [0, hr/3]$ (vi rör oss för varje $r$ "från botten till linjen").

Men jag vet inte om svaret är rätt; det är bara ett förslag.