Definera en slumpvariabel på ett sannolikhetsrum för tärningskast

Man använder ofta endast den underliggande mängden för att referera till hela det matematiska objektet inklusive strukturen. Alltså "vektorrummet $V$" snarare än $(V, +, \cdot)$, eller "gruppen $G$" istället för $(G, +)$. Det är bara för att det är lättare att skriva. Skriver man t.ex. Att $W\subset V$ är ett delrum så menar man att den underliggande mängden $W$ är en delmängd av den underliggande mängden $V$, utrustad med samma operationer $+, \cdot$ och som uppfyller villkoren för delrum.

I detta fall är $E$ både mängden i ett mätbart rum $(E, \sigma)$ och rummet självt, beroende på sammanhanget. Det är förvisso en "abuse of notation" (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Abuse_of_notation) men det är entydigt vad som måste vara vad utifrån sammanhanget. Att $S\subset E$ betyder att $S$ är en delmängd av den underliggande mängden $E$ av ett mätbart rum $(E, \sigma)$. Att säga att $E$ är ett mätbart rum betyder att $E$ är någon mängd tillsammans med en sigma-algebra på den mängden, men vi skriver inte ut den specifika sigma-algebran för att den inte är relevant just här.

Okej, då är jag med!

Men med avseende på vilken $\sigma$-algebra ska $E$ vara ett mätbart rum? Det finns väl hur många som helst man kan välja bland? Låt säga att vi tar exemplet ur #1 med en slumpvariabel $X$ som betecknar siffran man slår vid ett tärningskast.

Det kan vara vad som helst, ofta brukar man ta $\mathbb{R}$. Man kan ta t.ex. mängden $\{1,2,3,4,5, 6\}$ och sigma-algebran som består av alla delmängder. Men det går att ta något helt annat också. Det man alltid kan göra är att givet en SV $X:(\Omega, F, P) \to (E, \sigma)$ definiera en sannolikhetsfunktion $\hat{P}$ på $\sigma$ via

$\hat{P}(s) = P(X^{-1}(s))$ för $s\in\sigma$.

Så om vi låter $X$ vara slumpvariablen med värden i $\{u, j\}$ som skickar jämna tärningskast till elementet $j$ och udda till $u$ då kan vi definiera sannolikheten av $u\in \sigma$ som sannolikheten $P$ av mängden av alla tärningskast $\omega\in\Omega$ sådana att $X(\omega) =u$, dvs. som $P(\text{udda antal prickar})=P(\{1,3,5\})$ om vi väljer att tänka på utfallen som talen 1-6.

Om vi antar att denna sannolikhet är 0.5, ja då kan vi alltså säga att sannolikheten för $u$ är 0.5.

Tillägg: 16 maj 2025 17:02

Kravet att $X$ är mätbar garanterar att mängden $X^{-1}(s)=\{\omega \in\Omega: X(\omega) =s\} \subset \Omega$ faktiskt är ett element i $F$ för varje $s\in\sigma$, vilket gör att vi kan stoppa in det som argument i sannolikhetsfunktionen $P$.

Jag hänger inte riktigt med på notationen. Vad betyder:

$\displaystyle X: (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \to (E, \sigma)$?

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ består ju av två mängder $\Omega$ och $\mathcal{F}$. Vilken av dessa avses?

Gud, jag fick sådan sjuk déjà vu när jag skrev detta haha

Menar att $X$ är en mätbar funktion från sannolikhetsrummet till en mätbar mängd, vilket alltså är en vanlig funktion mellan de underliggande mängderna $\Omega$ och $E$ sådan att $X^{-1}(s)\in F$ för alla $s\in \sigma$ (denna egenskap betyder exakt att $X$ är en mätbar funktion).

Observera att en mätbar funktion är en funktion mellan två mätbara rum som uppfyller egenskapen ovan. En slumpvariabel är en mätbar funktion från ett sannolikhetsrum $(\Omega, F, P)$--som även är ett mätbart rum $(\Omega, F)$--till ett mätbart rum.

En slumpvariabel är alltså samma sak som en mätbar funktion. Vi kallar det slumpvariabel ifall domänen kommer från ett sannolikhetsrum.

Det finns en del saker jag måste försöka reda ut här.

Så i ditt exempel så låter vi $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ och $\sigma = \mathcal{P}(\Omega)$. Vi definerar ett nytt sannolikhetsmått genom det gamla sannolikhetsmåttet enligt:

$\hat{P}\left(s\right):=P\left(X^{-1}\left(s\right)\right)$ för alla $s\in\sigma$

Vi vet att detta kommer vara okej eftersom $X$ är en mätbar funktion, vilket innebär att $X^{-1}\left(s\right)\in \mathcal{F}$ för alla tillåtna $s$.

Vi låter $X$ vara slumpvariabeln med värden i $\{u, j\}$. Vi har då:

$\hat{P}(u) = P(X^{-1}(u))= P\left(\{\omega\in\Omega : X(\omega) = u\}\right)=P\left(\left\{1,3,5\right\}\right) = \frac{1}{2}$

Tillägg: 16 maj 2025 19:33

Det känns som att vi går åt "fel" håll här, om jag har förstått det hela rätt. Jag förstår inte varför vi krånglar till det med en ny sannolikhetsfunktion $\hat{P}$ istället för att bara titta på vår redan definierade sannolikhetsfunktion $P$?

$\sigma$ är en sigma-algebra av det mätbara rummet $E:=\{u, j\}$ i mitt exempel, inte från sannolikhetsrummet. Tänk att $X$ mappar utfall till några slags mätbara värden i $E$. Vi kan tänka att $X$ antar värden baserat på "paritet" här, alltså udda/jämnt antal prickar.

Vi kan ta $\sigma$ till att vara potensmängden av $E$.

Att $X$ är mätbar gör att vi kan beskriva sannolikheten för värdena i $E$ men hjälp av sannolikhetsfunktionen $P$. Vi har ingen sannolikhetsfunktion för värdena av $X$, utan vår sannolikhetsfunktion är definierad på $F$. Därför vi introducerar en "ny" sådan som är definierad utifrån den gamla.

Här är ett exempel. Säg att vi kastar en tärning två gånger. Vi vill definiera en slumpvariabel som räknar summan av antalet prickar från båda kasten.

$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\} = \{(a,b):a,b=1,2,3,4,5,6\}$.

$\mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega) = \{S:S\subset\Omega\}$.

$\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$ definierad av $\mathbb{P}(S)=\frac{|S|}{36}$.

Trippeln $(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})$ bildar ett sannolikhetsrum.

Vidare låt

$E=\{2,3,\dots,12\}$, och

$\sigma=\mathcal{P}(E) = \{S:S\subset E\}$.

Paret $(E,\sigma)$ är ett mätbart rum.

Låt $X:\Omega\to E$ vara definierad som $X((a,b)) = a+b$.

En funktion $f:A\to B$ mellan två mätbara rum $(A,\sigma_A)$ och $(B,\sigma_B)$ är mätbar om urbilden (pre-image) av varje mätbar mängd $b\in\sigma_B$ är mätbar i $A$, dvs. om

$f^{-1}(b)\in \sigma_A$ för alla $b\in \sigma_B$.

$X$ är uppenbarligen mätbar eftersom varje möjlig delmängd av $\mathcal{F}$ är mätbar, så urbilden (pre-image) $X^{-1}(s)$ är i $\mathcal{F}$ för alla $s\in \sigma$.

Således är $X$ en slumpvariabel.

Låt oss nu fundera på vad sannolikheten är att $X$ antar värdet $12$. Vi kan inte skriva $\mathbb{P}(12)$ eftersom $12$ inte ingår i definitionsmängden för $\mathbb{P}$.

I det generella fallet behöver inte $E$ och $\mathcal{F}$ alls likna varandra. Ibland kan de vara lika eller rentav ekvivalenta, t.ex. om vi mäter antalet prickar för endast ett tärningskast och vi tänker att $\Omega = E = \{1,2,3,4,5,6\}$.

Däremot kan vi definiera sannolikheten att $X$ antar värdet $12$ som sannolikheten av urbilden $X^{-1}(12)=\{\omega\in \Omega : X(\omega)=12\}$. Detta är mängden av alla element i $\Omega$ som skickas till värdet $12$ under $X$. För att få använda $\mathbb{P}$ behöver vi ha ett element i sigma-algebran $\mathcal{F}$.

Mängden $X^{-1}(12)$ är automatiskt en delmängd av $\Omega$, och i just vårt fall är alla delmängder av $\Omega$ också element i vår sigma-algebra $\mathcal{F}$. Alltså vet vi att $X^{-1}(12)$ ingår i definitionsmängden för $\mathbb{P}$.

I det generella fallet kan vi använda att vi kräver att $X$ ska vara mätbar, vilket är exakt samma sak som att säga att $X^{-1}(s)\in \mathcal{F}$ för alla $s\in \sigma$.

Enligt vår definition kan vi alltså definiera sannolikheten för att $X$ antar värdet $12$ som $\mathbb{P}(\{(6,6)\})$, vilket är $1/36$.

Formellt sett inför vi en ny sannolikhetsfunktion $\hat{\mathbb{P}}:\sigma\to[0,1]$ med hjälp av den vi redan har, $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$, som

$\hat{\mathbb{P}}(s):=\mathbb{P}(X^{-1}(s))$.

Detta sista steg vi gjorde med $\hat{\mathbb{P}}$ kallas för "push-forward", eller "pushout". Vi "flyttar fram" sannolikhetsfunktionen $\mathbb{P}$ via den mätbara funktionen $X$ till att kunna användas även på $\sigma$. Denna typ av konstruktion förekommer i flera andra områden i matematiken. Det finns också en variant där man går i den andra riktningen, då kallas det "pullback".

Ah, jag tror jag förstår själva principen, även om jag måste smaka lite mer på de tekniska detaljerna.

Istället för att direkt försöka mäta sannolikheten av $X = 12$, vilket inte går med vårt sannolikhetsmått hittills (som bara är definierat på $\mathcal{F}$), så inser vi istället att vi alltid kan mäta sannolikheten av mängden av de $\omega$ för vilka $X(\omega) = 12$.

Är det rätt uppfattat?

Japp, exakt så.