Definition av enheter — kan man ta sinus av 5 kg?
God kväll!
Denna diskussionstråd handlar om enheter och vad man inte får (eller får!) göra med tal med enheter med grund i frågan i trådens titel. Jag kom att fundera på detta efter att jag såg en fråga om detta på Stack Exchange. För diskussionens skull måste vi börja med att definiera begreppet enhet, alltså exempelvis vad "" betyder i en sats som "objektet väger ". Jag kommer försöka ange hur jag förstår begreppet nedan med ett enkelt exempel.
Studera en samling av fysikaliska objekt tillsammans med en balansvåg.
Per definition säges vara mer massiv än eller lika massiv som om och endast om balansvågen lutar åt eller är i balans då och placeras i vågskålarna. Detta definierar en icke-matematisk partiell ordning .
Vidare säges två element i tillsammans vara lika massiva som ett tredje om och endast om vågen är i balans då de två elementen läggs i den ena skålen och det tredje i den andra. Detta definierar en icke-mateamtisk addition .
Den empiriska strukturen har en motsvarighet bland en delmängd av de reella talen med addition och matematisk partiell ordning . Således kan vi definiera en homomorfi (strukturbevarande karta):
Denna karta är det som ger en numerisk och matematisk representation till den fysikaliska och icke-matematiska egenskapen massa. Notera att homomorfin endast är unik upp till en positiv skalningsfaktor , vilket definierar olika skalor. Per definition betyder ett påstående som "objektet har massa " att för ett konventionellt val av .
Jag förstår alltså "enheter" som ett slags metalingvistiskt bokföringsknep för att hålla koll på från vilken homomorfi ett mätetal kommer, snarare än något som hör till talet självt. Ur denna synvinkel känns det rimligt att man kan göra precis vad man vill med sina mätetal, till och med något så syndigt som att skriva .
Saken är den att enligt exemplet ovan lever ju på en mängd med partiell ordning och addition, men det finns exempelvis ingen multiplikation. Ändå förekommer det ofta att man multiplicerar massor med varandra eller t.ex. tar roten ur. Är detta verkligen lagligt? Eller ännu värre: hur ska man formellt behandla det faktum att man ibland multiplicerar mätetal med olika enheter med varandra?
Jag är lite lost här så jag skulle gärna höra vad ni andra tycker! Men: jag är inte intresserad av argument utan definitioner. Tolkningen av enheter jag har lagt fram ovan är långt ifrån den enda, men om ni inte är så övertygade om den skulle jag vilja att ni ger alternativa definitioner om ni vill delta i diskussionen.
Vill man matematisera fysikaliska storheter är en mer vedertagen definition att en storhet är en tupel som bildas av ett tal och en enhet; ex 3 km ~ (3,km) med triviala algebran (a,b)*(c, d)=(ac, bd) och en ekvivalensrelation som beskriver enhetssambanden som att (100, cm) = (1, m).
Detta har varit standard sedan Maxwell och hans samtida uppfann konceptet storhet.
Att matematisera vad storheter representar i relation mätprocedurer är inte ointressant men är egentligen utanför matematikmodelleringen. Proceduren beskrivs ju ord, diagram, eller figurer, inte med symboler. Än viktigare är att fysikalisk realism utgår från att storhet existerar oberoende av mätningen.
Apropå rubriken är konvention att addition av storheter med olika dimension inte är definierat. Mindre eftersom det inte går och mer eftersom det är meningslöst i kontexten av tillämpningar. Eftersom operationer som sin, exp, ln osv definieras via taylorserier och således är summor av potenser med olika exponenter så går det inte ta sin av enhetsbeklädda storheter eftersom man då skulle få odefinierade summor av termer med olika enheter.
Vill man matematisera fysikaliska storheter är en mer vedertagen definition att en storhet är en tupel som bildas av ett tal och en enhet; ex 3 km ~ (3,km) med triviala algebran (a,b)*(c, d)=(ac, bd) och en ekvivalensrelation som beskriver enhetssambanden som att (100, cm) = (1, m).
Men vad skulle "km" eller "m" betyda i en definition som denna? Dessa är ju inte matematiska objekt så måste vi inte veta något om vad dessa betyder innan vi kan anta en sådan (om än attraktiv) definition?
Fördelen med den definition som jag återgav i min OP (vilket såvitt jag förstår är synsättet i representational measurement theory (RMT)) är att enheter inte "finns" i någon matematisk bemärkelse så då slipper man bekymra sig över det problemet.
Nej...? Grundenheterna definieras via SI-manualen och resten faller ut från de aritmetiska reglerna. Är så tydligt det kan bli.
Att definiera meningsfulla enheter är en del av den vetenskapliga processen så de kommer fortsätta uppdateras så länge vi upptäcker mer fysik.
Min fråga handlar ju framför allt om vad enheter är och det svarar SI-broschyren inte på.
Det som jag tycker är konstigt är hur som helst att du använder matematiskt språk (tupel, ekvivalensrelation) för något som inte är matematiskt. Jag förstår inte vad den formella betydelsen av (1, kg) eller (3, cm) skulle vara eftersom "kg" eller "cm" är inte är matematiska objekt.
SI-brochyren har du en lexikal definition av vad en enhet är på sida 123 i den engelska översättningen (https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure)
Dvs att en enhet är en (godtyckligt vald) storhet av en viss typ sådan att dess mätetal är 1. (Detta är i vissa avseenden en cyklisk definition men det är inte i sig något problem enligt mig)
I formell mening är alltså enheten för massa egentligen "1 kg" snarare än "kg" men finns ingen funktionell skillnad eftersom enhetsbeteckningar inte kan stå ensamma men det skulle försvåra läsning av löptext om man skrev ut 1:or hela tiden.
Jag förstår inte hur denna definition hjälper.
Bortsett från cirkulariteten definierar de ju inte enhetsbegreppet på det matematiska sätt som skulle krävas för att tolka exempelvis (4, 5 kg). Begreppen "tupel" och "ekvivalensrelation" har strikta, matematiska definitioner, så man kan inte bara stoppa in vad som helst.
Att en storhet är en slags tupel är inget jag har hittat på utan det är ju den mängdteoretiska tolkningen av vad "the value of a quantity is generally expressed as the product of a number and a unit" betyder. Maxwellnotationen för storheter skrivs som en produkt
Q = {Q}*[Q]
men i mängdteoretisk notation skulle man se Q som kartesiska produkten av R (eller C) och ett rum av enheter. I datorprogram som emulerar storhetsalgebra (eng: Quantity Algebra) så görs det ju genom tupler. Ta hur du specificerar en storhet med enhet i Wolframalpha: Quantity[magnitude, "unit"].
Inget av detta säger oss något om vad mätning är men det hjälper oss att förstå hur storhetsalgebra fungerar formellt även om vi alla fått lära oss det implicit.
Vill du ha mer detaljer kan jag utveckla modellen där jag bara improvisativt riffar:
Låt U vara mängden av SI-enheter U = {kg, m, s, cd, kelvin, mol,A}. Låt (U*, *)vara den multiplikativa kommutativa gruppen som generas genom av alla produkter kg^a m^b s^c, ...där exponenterna a,b,c,..., är rationella tal. Detta är väl effektivt samma som direkta produkten Q^7. Fallet där exponenterna alla är 0 kallas för dimensionslös.
Därefter definierar vi mängden av alla storheter Q som bildas genom den kartesiska produkten av de reella talen R och U
Q = R × U
där vi ger strukturen Q en lång lista av algebraiska egenskaper. Multiplikation definieras termvis
(q1, u1) * (q1, u2) = (q1 * q2, u1 * u2)
Addition definieras endast om storheterna har samma enheter
(q1, u) + (q2, u2) = (q1 + q2, u)
osv osv.
Detta typ av språk är egentligen bara användbart i tre situationer:
1. För att lära matematiker hur storhetsalgebra fungerar
2. För att koda algebrasystem som också hanterar enheter, exempelvis i bevismaskiner
3. För att synliggöra och problematisera dolda antaganden man har om storhetsalgebra. (Exempelvis så smög jag in att storheternas mätetal är reella tal men det finns fysikaliska storheter som kan ha komplexa mätetal som impedanser och täthetsfunktioner i kvantfysik)
