Definition av enheter — kan man ta sinus av 5 kg?

God kväll!

Denna diskussionstråd handlar om enheter och vad man inte får (eller får!) göra med tal med enheter med grund i frågan i trådens titel. Jag kom att fundera på detta efter att jag såg en fråga om detta på Stack Exchange. För diskussionens skull måste vi börja med att definiera begreppet enhet, alltså exempelvis vad "$\mathrm{ kg}$" betyder i en sats som "objektet $x$ väger $5\;\mathrm{kg}$". Jag kommer försöka ange hur jag förstår begreppet nedan med ett enkelt exempel.

Studera en samling $\mathcal M$ av fysikaliska objekt tillsammans med en balansvåg.

Per definition säges $m_1\in \mathcal{M}$ vara mer massiv än eller lika massiv som $m_2\in\mathcal{M}$ om och endast om balansvågen lutar åt $m_1$ eller är i balans då $m_1$ och $m_2$ placeras i vågskålarna. Detta definierar en icke-matematisk partiell ordning $\preceq$.

Vidare säges två element i $\mathcal M$ tillsammans vara lika massiva som ett tredje om och endast om vågen är i balans då de två elementen läggs i den ena skålen och det tredje i den andra. Detta definierar en icke-mateamtisk addition $\oplus$.

Den empiriska strukturen $(\mathcal{M}, \preceq, \oplus)$ har en motsvarighet bland en delmängd $D\subseteq \mathbb{R}_{\ge 0}$ av de reella talen med addition $+$ och matematisk partiell ordning $\le$. Således kan vi definiera en homomorfi $\mu$ (strukturbevarande karta):

$\displaystyle \mu: (\mathcal{M}, \preceq, \oplus) \to (D,\le, +)$

Denna karta är det som ger en numerisk och matematisk representation till den fysikaliska och icke-matematiska egenskapen massa. Notera att homomorfin $\mu$ endast är unik upp till en positiv skalningsfaktor $c$, vilket definierar olika skalor. Per definition betyder ett påstående som "objektet $x$ har massa $5\;\mathrm{kg}$" att $\mu(x) = 5$ för ett konventionellt val av $\mu$.

Jag förstår alltså "enheter" som ett slags metalingvistiskt bokföringsknep för att hålla koll på från vilken homomorfi ett mätetal kommer, snarare än något som hör till talet självt. Ur denna synvinkel känns det rimligt att man kan göra precis vad man vill med sina mätetal, till och med något så syndigt som att skriva $\sin\left(5\;\mathrm{kg}\right)$.

Saken är den att enligt exemplet ovan lever ju $\mu(x)$ på en mängd med partiell ordning och addition, men det finns exempelvis ingen multiplikation. Ändå förekommer det ofta att man multiplicerar massor med varandra eller t.ex. tar roten ur. Är detta verkligen lagligt? Eller ännu värre: hur ska man formellt behandla det faktum att man ibland multiplicerar mätetal med olika enheter med varandra?

Jag är lite lost här så jag skulle gärna höra vad ni andra tycker! Men: jag är inte intresserad av argument utan definitioner. Tolkningen av enheter jag har lagt fram ovan är långt ifrån den enda, men om ni inte är så övertygade om den skulle jag vilja att ni ger alternativa definitioner om ni vill delta i diskussionen.