Definitionen av en skalärprodukt + tentamensfråga

Halloj!

Jag håller på att studera begreppet skalärprodukt och jag har en (ganska petig) fråga om en fråga från en gammal tentamen. Innan jag kommer in på den börjar jag med att notera definitionen för skalärprodukten så som jag förstår den (rätta mig gärna om den inte stämmer!):

Låt $V$ vara ett vektorrum definierat på en kropp $K$. Då är en funktion $\displaystyle \langle\cdot,\cdot\rangle:V \times V\to K$ en skalärprodukt på $V$ om och endast om:

• $\displaystyle \langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle$
• $\displaystyle \langle a+c,b\rangle = \langle a,b\rangle + \langle c,b\rangle$
• $\displaystyle \langle ca,b\rangle = c\langle a,b\rangle$ för $c\in K$
• $\displaystyle \langle a,a\rangle \ge 0$ med $\displaystyle \langle a,a\rangle = 0$ omm $a=0_V$

Vidare definierar vi normen av en vektor genom denna skalärprodukt:

$\displaystyle \left|\left|u\right|\right|:=\sqrt{\langle u,u\rangle}$

Uppgiften jag satt med framgår nedan:

Här antar jag att kroppen $K=\mathbb{R}$, eftersom ingenting annat har sagts. 

Facit skriver följande:

Jag förstår inte riktigt varför man väljer att hänvisa till "längd" i detta sammanhang. Längd är väl ett geometriskt begrepp som egentligen saknar mening i ett abstrakt vektorrum? Jag tänkte bara att om $v \in \mathrm{N}\left(F\right)$ måste $v = 0_V$ per definition eftersom $\langle v, v \rangle = 0$ omm $v = 0_V$.