Definitionen av kvot

Fattaordenimatten skrev:

Kvot brukar alltid beskrivas som täljaren dividerad med nämnaren.  Kan de vara vilka tal som helst, inte bara heltal?

Japp det stämmer att en kvot består av en nämnare och en täljare, oberoende av om nämnare & täljare är heltal eller inte. Alltså definieras en kvot som a/b, oavsett värde på a och b.

Kan talet skrivas upp som en kvot mellan två heltal, oavsett om det ger decimaltal eller hela tal kallas det ett rationellt tal. (tex 1/2 eller 7/2)

Sen finns det tal som inte kan skrivas med en kvot mellan två heltal, tillexempel pi (3,14159265…) - dessa kalla irrationella!

både täljare och nämnare kan vara alla tal, inklusive komplexa. Den enda restriktionen är att nämnaren aldrig får vara 0.

Jag vill krångla lite och säga att ett uttryck som består av en täljare, ett bråkstreck och en nämnare kallas bråk.

En kvot är i min värld resultatet av en division.

Exempel.

I påståendet 6/3 = 2 så består vänsterledet av ett bråk och högerledet av en kvot.

Yngve skrev:

Jag vill krångla lite och säga att ett uttryck som består av en täljare, ett bråkstreck och en nämnare kallas bråk.

En kvot är i min värld resultatet av en division.

Exempel.

I påståendet 6/3 = 2 så består vänsterledet av ett bråk och högerledet av en kvot.

Intressant aspekt. 

Troligen ett äldre ord som hängt med långt över bäst-före-datum

https://www.synonymer.se/sv-syn/kvot

Jag finner inte rakt av motsvarigheten i engelska, men det kanske finns.

Yngve skrev:

Jag vill krångla lite och säga att ett uttryck som består av en täljare, ett bråkstreck och en nämnare kallas bråk.

En kvot är i min värld resultatet av en division.

Exempel.

I påståendet 6/3 = 2 så består vänsterledet av ett bråk och högerledet av en kvot.

Det är egentligen vad jag också blivit lärd, däremot har definitionen skiftat lite genom åren.

Under gymnasiet så benämndes kvot som både resultatet och själva bråket, kanske för att det låter en aning bättre?

Men jag håller egentligen med dig.

Tack alla så väldigt! Ni har verkligen angripit begreppet från olika håll. Frågan är om det är lite som den blinde och elefanten :-)   

Jag skulle också vilka krånga till och säga att t.ex. 5 / 2 är ett _divisionsuttryck_  alltså en beräkning som inte är gjord ännu, och när den är gjord blir den ett _bråk_ som lustigt nog ser likadant ut.   Frågan är hur _kvot_ kommer in. Men läroböckerna talar om kvot som resultatet av en division.  Tror inte det är på väg ut. 

Hur bråk kommer in som Yngve är inne på är frågan.  Bråk = kvot ?

Vi kan göra det enkelt för oss och bara kalla det ”tal”. Rent formellt finns det ingen större skillnad mellan objekt som ”1” och ”2/6”.

naytte skrev:

Vi kan göra det enkelt för oss och bara kalla det ”tal”. Rent formellt finns det ingen större skillnad mellan objekt som ”1” och ”2/6”.

... förutom att de båda objektens värden skiljer sig med en faktor 3 ... 😉

Fattaordenimatten skrev:

Tack alla så väldigt! Ni har verkligen angripit begreppet från olika håll. Frågan är om det är lite som den blinde och elefanten :-)   

Jag skulle också vilka krånga till och säga att t.ex. 5 / 2 är ett _divisionsuttryck_  alltså en beräkning som inte är gjord ännu, och när den är gjord blir den ett _bråk_ som lustigt nog ser likadant ut.   Frågan är hur _kvot_ kommer in. Men läroböckerna talar om kvot som resultatet av en division.  Tror inte det är på väg ut. 

Hur bråk kommer in som Yngve är inne på är frågan.  Bråk = kvot ?

Jag tror Yngves definition är lämplig

summering - summa

subtraktion - differens

multiplikation - produkt

division - kvot

Jag tror Trinity2 menar att kvot är _resultatet_ av en division, inte det jag kallade _divisionsuttrycket_.  

Kiselman-Mouwitz som väl kämpade mycket med terminilogin säger dock "termen kvot används även för divisionsuttrycket.

Sen verkar vissa tala om kvot  för som "Kvoten av 7 och 2 är 3; resten är 1."  Man inför begreppet heltalsdivision när a och b i a/b är heltal.  Men det undrar jag om det lärs ut i skolan nu.

Alla verkar i alla fall ense om att T och N  får vara annat än heltal.   Således är också  5 (3x + 2) /  2y (z - 3)  en kvot.

Jag tror det är svårt att få en vattentät terminologi, t.ex. benämner vi inte

- SUM_0^inf 1/k = SUM_0^inf (-1/k)

för en differens utan en summa.

Och man kan tveka vad man skall kalla blandad form

3/2 = 1 1/2 = 1+1/2

är det en kvot eller en summa.

Rent formellt finns det ingen operation som heter subtraktion heller utan det finns bara addition (+).

naytte skrev:

Rent formellt finns det ingen operation som heter subtraktion heller utan det finns bara addition (+).

De spenderar mycket text på något som inte finns;

https://en.wikipedia.org/wiki/Subtraction 

:)

Det är klart att man kan definiera en operation man kallar för subtraktion men det är ju bara addition i förklädnad. Vanligtvis definierar man negativa tal som additiva inverser till positiva tal. Då får man plötsligt lösningar till ekvationer som 1+x=0. Notera att x=-1, så vi har alltså 1 + -1 = 0. ”-” är normalt sett en del av talets symbol, inte en egen operation. 

Även när vi löser exempelvis andragradare ser vi detta. Har vi x² - 2x - 1 = 0 så är denna ändå på formen x² + px + q = 0. Att vi skriver ut minustecknen så är bara ett sätt att göra det överskådligt, men det är ingen egen operation utan en del av koefficienterna.

Ni vidgar perspektivet i tangentens riktning, grabbar :-)  Ett väldigt intresse för begrepp.

Jag tror inte ens matematiker är ense om de vanligaste begreppen.

Jag tror jag kommer att återkomma med fler frågor kring orden, för håller på och skriver om det. Stay tuned!

naytte skrev:

Det är klart att man kan definiera en operation man kallar för subtraktion men det är ju bara addition i förklädnad. Vanligtvis definierar man negativa tal som additiva inverser till positiva tal. Då får man plötsligt lösningar till ekvationer som 1+x=0. Notera att x=-1, så vi har alltså 1 + -1 = 0. ”-” är normalt sett en del av talets symbol, inte en egen operation. 

Även när vi löser exempelvis andragradare ser vi detta. Har vi x² - 2x - 1 = 0 så är denna ändå på formen x² + px + q = 0. Att vi skriver ut minustecknen så är bara ett sätt att göra det överskådligt, men det är ingen egen operation utan en del av koefficienterna.

Nja, jag tror det är en lite grov förenkling. på WP sidan längst ner finns en länk till hur subtraktion har utvecklats i USA under åren. Det är i högsta grad en "levande aritmetik". Sedan vad man kallar det i div. omständigheter är lite knepigare. Vi t.ex. "skillnad" som jag tolkar som | differens |, d.v.s. absolutbeloppet av en differens. Någon som är mera beläst i matematisk semantik kanske har en annan åsikt.

Jag förstår inte riktigt vad du anser vara en förenkling. Det spelar förstås ingen roll hur man väljer att tänka på ”-”. Man kan se det antingen som en egen operation (addition i förklädnad) eller som ett bihang på negativa tal. Oavsett vilket av dessa synsätt man väljer fungerar allt utmärkt.

Det jag menar är att man rent formellt inte ens behöver (eller brukar) tala om subtraktion som en operation. Exempelvis är en egenskap en kropp måste uppfylla att det finns två operationer, + och •. Däremot sägs det inget om ”subtraktion”. På samma sätt som subtraktion inte brukar införas formellt brukar inte heller division införas formellt. ”Division” går naturligtvis att definiera som en egen operation, men det är smidigare och brukligare att bara köra på addition och multiplikation; subtraktion och division ör ändå bara dessa operationer i förklädnad.

naytte skrev:

Jag förstår inte riktigt vad du anser vara en förenkling. Det spelar förstås ingen roll hur man väljer att tänka på ”-”. Man kan se det antingen som en egen operation (addition i förklädnad) eller som ett bihang på negativa tal. Oavsett vilket av dessa synsätt man väljer fungerar allt utmärkt.

Det jag menar är att man rent formellt inte ens behöver (eller brukar) tala om subtraktion som en operation. Exempelvis är en egenskap en kropp måste uppfylla att det finns två operationer, + och •. Däremot sägs det inget om ”subtraktion”. På samma sätt som subtraktion inte brukar införas formellt brukar inte heller division införas formellt. ”Division” går naturligtvis att definiera som en egen operation, men det är smidigare och brukligare att bara köra på addition och multiplikation; subtraktion och division ör ändå bara dessa operationer i förklädnad.

Det blir lätt komplext om man skall koka ner allt till en minimalistisk "verktygslåda". Ja, det går utmärkt att begränsa sig till + i t.ex. vektoranalys då -u är bara "riktningsmotsatsen" till u etc. då eleverna på denna nivå har en förståelse för detta men om vi skall förklara för Johan, 8 år, när han skall handla Gott & Blandat för sin veckopeng och påsen kostar -17.95, som han skall ADDERA till sin veckopeng, blir saker och ting onödigt komplicerat. Det vore som att reducera bort cos och tan och bara använda sin. Min hjärna skulle gå på högvarv efter ett par minuter och troligen brinna upp kort därefter om så vore fallet. Dock har vi i Sverige begränsat oss en del inom trigonometrin och inte "flippat" ut totalt som USA som blandar in sec, cosec och andra trigonometriska konstellationer.

Nej där håller vi givetvis med varandra, men Johan, 8 år, befattar sig ju inte med matematikens grunder. Rent formellt behövs och finns ingenting som heter subtraktion. Sedan att lille Johan med stor framgång kan använda subtraktion när han handlar lösgodis är en annan femma.

Der var nog otydligt varför jag gick in på detta sidospår, men för att förtydliga menade jag att detta nog är anledningen till att det kallas för summa när man har t.ex. $\sum_{k} \frac{-1}{k}$