derivata

K.Ivanovitj skrev :

Hej

kan någon hjälpa mig med att multiplicera ihop uttrycken när jag ska beräkna derivatan av:

$f\left(x\right)=\ln *\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$

Jag började med att försöka utnyttja att man har  f¨(x)g(x)+f(x)g`(x) som i detta fall skulle bli $\frac{1}{x}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\ln \left(x\right)\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

men jag har problem med att multiplicera ihop termerna

Det du har skrivit saknar matematisk innebörd. Man kan inte skriva "ln*", det måste finnas något man kan logaritmera.

det skulle inte ha varit ett multiplikationstecken efter ln, jag har ändrat nu till hur frågan ser ut

Jag misstänkte att du tänkte ändra i uppgiften, och därför kopierade jag ursprungsformuleringen (mitt inlägg hade blivit helt obegripligt annars)

Använd kedjeregeln istället.

I klartext: f(x) är en sammansatt funktion, inte en produkt av flera funktioner. Därför ska du använda kedjeregeln och inte produktregeln.

Kedjeregeln finner du nedan:

okej jag kom fram till $\frac{1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$ men sedan ska jag ta mig därifrån till svaret som ska bli $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

jag vet inte om det är rätt men för att få en gemensam nämnare satte jag  $\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$ och sedan förkortade jag bort $\sqrt{1+x^2}$ och fick kvar $\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}$ sedan förkortade jag bort x:en och fick då kvar $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ vilket också är svaret.

Är det den här formelsamlingen du har använt?

K.Ivanovitj skrev :

okej jag kom fram till $\frac{1+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$ men sedan ska jag ta mig därifrån till svaret som ska bli $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

jag vet inte om det är rätt men för att få en gemensam nämnare satte jag  $\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$ och sedan förkortade jag bort $\sqrt{1+x^2}$ och fick kvar $\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}$ sedan förkortade jag bort x:en och fick då kvar $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ vilket också är svaret.

Det är rätt fram till att du börjar förkorta, sen är det fel.

Uttrycket du ska förkorta bort är (x + rotenur(1 + x^2)). Efter det är du klar. Du måste även kontrollera möjligheten att  (x + rotenur(1 + x^2)) = 0 innan du förkortar.

K.Ivanovitj skrev :

Hej

kan någon hjälpa mig med att multiplicera ihop uttrycken när jag ska beräkna derivatan av:

$f\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$

Jag började med att försöka utnyttja att man har  f¨(x)g(x)+f(x)g`(x) som i detta fall skulle bli $\frac{1}{x}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\ln \left(x\right)\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

 

men jag har problem med att multiplicera ihop termern

Hej!

Som många redan har skrivit så är din funktion en sammansatt funktion.

    $\displaystyle f(x) = \ln(x+\sqrt{1+x^2}) = \ln (g(x)) ,$

där funktionen $g(x) = x+\sqrt{1+x^2}$. Med hjälp av Kedjeregeln kan du beräkna derivatan

    $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x).$

Med hjälp av Kedjeregeln kan du beräkna derivatan

    $\displaystyle g'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}.$

Notera att eftersom uttrycket $x+\sqrt{1+x^2}$ är samma sak som $g(x)$ så kan derivatan skrivas

    $\displaystyle g'(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{1+x^2}}$,

vilket ger den sökta derivatan

    $\displaystyle f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$

Albiki