Derivata för potensfunktion

Sats. Låt $f$ vara en potensfunktion $f(x) = x^p$ där $x\in (0,\infty)$ och $p$ är ett reellt tal. Derivatan till denna funktion är funktionen $f^\prime$ där $f^\prime(x) = px^{p-1}$ där $x\in(0,\infty)$.

Bevis. Då $x>0$ är $x^p$ ett positivt tal vilket gör att logaritmen $\log x^p$ är väldefinierad. Om funktionen $f$ är deriverbar så ger Kedjeregeln derivatan till den sammansatta funktionen $g(x) = \log f(x)$ som

    $\displaystyle g^\prime\left(x\right) = \frac{f^\prime\left(x\right)}{f\left(x\right)}$

Logaritmlag låter funktionen $g$ skrivas $g(x) = p \log x$ varför Produktregeln också ger derivatan

    $g^\prime(x) = p\cdot \frac{1}{x}.$

Dessa två uttryck för $g^\prime(x)$ gäller för varje $x>0$ varför

    $\displaystyle p \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^\prime\left(x\right)}{f\left(x\right)} \Longleftrightarrow f^\prime\left(x\right) = px^{-1}f\left(x\right) = p\cdot x^{p-1}.$

Är funktionen $f(x)$ deriverbar? Den kan uttryckas som $f(x) = e^{p\ln x}$ där exponentialfunktionen och logaritmfunktionen båda är deriverbara, varför Kedjeregeln medför att den sammansatta funktionen $x\mapsto e^{p\ln x}$ är deriverbar.