8 svar
77 visningar
dajamanté 4703
Postad: 8 jun 2018

Derivata i två variabel (2)

Ok, man förstår att max=1max=1 när f(x,y)=(0,0)f(x,y)=(0,0) och min=12min=\frac{1}{2} när x2+y2=1x^2+y^2=1.

 

Men om man nu vill göra saker med stil och derivera med delfin(f)/delfin(x). (sorry, men  liknar en delfin. så är det).

Jag får att derivata är lika med noll för båda x och y lika med noll. Är det så att jag måste verifiera med andra derivata om jag har en max eller min punkt?

 

Mitt elegant men felaktigt försök:

 

 

Dr. G 3033
Postad: 8 jun 2018

Max i (0,0), men min? x och y kan väl bli hur stora som helst?

Det är lite jobbigt med andraderivator i flera dimensioner. I en dimension finns ju bara max-, min- och terrasspunkt, men i flera dimensioner finns även sadelpunkter. Du lär komma dit om ett tag.

Här ser man att nämnaren är ≥ 1 för alla x och y och = 1 bara i (0,0), så någon andraderivata behövs inte.

dajamanté 4703
Postad: 8 jun 2018 Redigerad: 8 jun 2018

Oooooooh jag ber om ursäkt.

Det saknas en viktigt information på min bild, nämligen:

Det är därför man vet att min är lika med 12\frac{1}2.

 

Men iaf, du menar att det behövdes inga algebraisk lösning till detta, bara good ol' common sense?

Dr. G 3033
Postad: 8 jun 2018

Enklast är nog att använda polära koordinater. Då blir allt en envariabelfunktion av r (inget vinkelberoende).

r^2 = x^2 + y^2

dajamanté 4703
Postad: 9 jun 2018 Redigerad: 9 jun 2018

Jag förstår på något intuitiv nivå vad du säger men inte hur jag kan applicera det algebraisk här..? Jag har inte hunnit till dit i kursen.

Alltså vi ser sanningen närma sig från fönstret på fjärde våningen men vi har inte personalen för att möta den än...

dajamanté 4703
Postad: 11 jun 2018

Jag trycker upp mitt tråd skamlöst för att veta mer om dessa polär koordinat.

AlvinB Online 648
Postad: 11 jun 2018 Redigerad: 11 jun 2018

Området {(x,y)|x2+y21}\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\} är ju en cirkel centrerad i origo med radie 11. I polära koordinater kan detta beskrivas som {(r,θ)|0r1}\{(r,\theta)|0 \leq r \leq 1\}.

Eftersom x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 i polära koordinater blir vår funktion:

f(r,θ)=f(r,\theta)=11+r2\displaystyle \frac{1}{1+r^2}

Det ursprungliga problemet är alltså samma sak som att hitta min och maxpunkterna för

f(r,θ)=f(r,\theta)=11+r2\displaystyle \frac{1}{1+r^2} där 0r10 \leq r \leq 1

Ta nu och undersök var fr=0\frac{\partial f}{\partial r}=0 och fθ=0\frac{\partial f}{\partial \theta}=0. Undersök om dessa är extrempunkter med hjälp av andraderivatan.

Därefter får du kolla på randen och hitta högsta respektive lägsta värde och jämföra med extrempunkterna.

dajamanté 4703
Postad: 12 jun 2018
AlvinB skrev:

Området {(x,y)|x2+y21}\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\} är ju en cirkel centrerad i origo med radie 11. I polära koordinater kan detta beskrivas som {(r,θ)|0r1}\{(r,\theta)|0 \leq r \leq 1\}.

Eftersom x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 i polära koordinater blir vår funktion:

f(r,θ)=f(r,\theta)=11+r2\displaystyle \frac{1}{1+r^2}

Det ursprungliga problemet är alltså samma sak som att hitta min och maxpunkterna för

f(r,θ)=f(r,\theta)=11+r2\displaystyle \frac{1}{1+r^2} där 0r10 \leq r \leq 1

Ta nu och undersök var fr=0\frac{\partial f}{\partial r}=0 och fθ=0\frac{\partial f}{\partial \theta}=0. Undersök om dessa är extrempunkter med hjälp av andraderivatan.

Därefter får du kolla på randen och hitta högsta respektive lägsta värde och jämföra med extrempunkterna.

 Oj, sorry för sen svar.

... fr=-2r(1+r2)2\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{-2r}{(1+r^2)^2}, så den är noll när r=0r=0... men var gömmer sig θ\theta till fθ=0\frac{\partial f}{\partial \theta}=0?

AlvinB Online 648
Postad: 12 jun 2018

11+r2\frac{1}{1+r^2} är ju bara en konstant med avseende på θ\theta, alltså är derivatan av ff med avseende på θ\theta alltid lika med noll, oavsett vad θ\theta är. Detta betyder att det egentligen bara är nollställena till rr-derivatan som avgör de stationära punkterna eftersom θ\theta-derivatan alltid är lika med noll.

Svara Avbryt
Close