Derivata i två variabel (2)

Max i (0,0), men min? x och y kan väl bli hur stora som helst?

Det är lite jobbigt med andraderivator i flera dimensioner. I en dimension finns ju bara max-, min- och terrasspunkt, men i flera dimensioner finns även sadelpunkter. Du lär komma dit om ett tag.

Här ser man att nämnaren är ≥ 1 för alla x och y och = 1 bara i (0,0), så någon andraderivata behövs inte.

Oooooooh jag ber om ursäkt.

Det saknas en viktigt information på min bild, nämligen:

Det är därför man vet att min är lika med $\frac{1}2$.

Men iaf, du menar att det behövdes inga algebraisk lösning till detta, bara good ol' common sense?

Enklast är nog att använda polära koordinater. Då blir allt en envariabelfunktion av r (inget vinkelberoende).

r^2 = x^2 + y^2

Jag förstår på något intuitiv nivå vad du säger men inte hur jag kan applicera det algebraisk här..? Jag har inte hunnit till dit i kursen.

Alltså vi ser sanningen närma sig från fönstret på fjärde våningen men vi har inte personalen för att möta den än...

Jag trycker upp mitt tråd skamlöst för att veta mer om dessa polär koordinat.

Området $\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\}$ är ju en cirkel centrerad i origo med radie $1$. I polära koordinater kan detta beskrivas som $\{(r,\theta)|0 \leq r \leq 1\}$.

Eftersom $x^2+y^2=r^2$ i polära koordinater blir vår funktion:

$f(r,\theta)=$$\displaystyle \frac{1}{1+r^2}$

Det ursprungliga problemet är alltså samma sak som att hitta min och maxpunkterna för

$f(r,\theta)=$$\displaystyle \frac{1}{1+r^2}$ där $0 \leq r \leq 1$

Ta nu och undersök var $\frac{\partial f}{\partial r}=0$ och $\frac{\partial f}{\partial \theta}=0$. Undersök om dessa är extrempunkter med hjälp av andraderivatan.

Därefter får du kolla på randen och hitta högsta respektive lägsta värde och jämföra med extrempunkterna.

AlvinB skrev:

Området $\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\}$ är ju en cirkel centrerad i origo med radie $1$. I polära koordinater kan detta beskrivas som $\{(r,\theta)|0 \leq r \leq 1\}$.

Eftersom $x^2+y^2=r^2$ i polära koordinater blir vår funktion:

$f(r,\theta)=$$\displaystyle \frac{1}{1+r^2}$

Det ursprungliga problemet är alltså samma sak som att hitta min och maxpunkterna för

$f(r,\theta)=$$\displaystyle \frac{1}{1+r^2}$ där $0 \leq r \leq 1$

Ta nu och undersök var $\frac{\partial f}{\partial r}=0$ och $\frac{\partial f}{\partial \theta}=0$. Undersök om dessa är extrempunkter med hjälp av andraderivatan.

Därefter får du kolla på randen och hitta högsta respektive lägsta värde och jämföra med extrempunkterna.

 Oj, sorry för sen svar.

... $\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{-2r}{(1+r^2)^2}$, så den är noll när $r=0$... men var gömmer sig $\theta$ till $\frac{\partial f}{\partial \theta}=0$?

$\frac{1}{1+r^2}$ är ju bara en konstant med avseende på $\theta$, alltså är derivatan av $f$ med avseende på $\theta$ alltid lika med noll, oavsett vad $\theta$ är. Detta betyder att det egentligen bara är nollställena till $r$-derivatan som avgör de stationära punkterna eftersom $\theta$-derivatan alltid är lika med noll.