Derivatan av en produkt. (Matematik/Matte 4/Derivata)

Undrar också över varför f(x+h) = f(x) + h×f'(x)

Fattar inte det riktigt.

Det som försvinner är $h\cdot f^\prime(x)\cdot g^\prime(x)$ .

Det är så eftersom i derivatans definition låter vi $h \to 0$ .

Då gäller det att hela termen $h\cdot f^\prime(x)\cdot g^\prime(x)$ går mot 0.

För din andra fråga är den en ok approximation. Det följer från derivatans definition:

$\displaystyle f^\prime\left(x\right) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$

Men för små $h$ är vänsterledet nästan samma som högerledet:

$\displaystyle f^\prime\left(x\right) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}h$

Om vi nu löser ut $f(x+h)$ får du $f(x+h) \approx f(x) + h\cdot f^\prime(x)$

Du kan också tänka ut varför detta bör gälla med vad en derivata representerar! (Förändring i funktionen)

Hej Alex, okej.

Men det står på rad två bredvid "förenkla täljaren" - f(x)×g(x). Sen är minustecknet och allting borta på nästa rad. Försöker ladda upp en markerad bild men går inte.

Undrar också hur du löser ut f(x+h), jag fattar inte hur det går till.

Och jag har försökt tänka ut varför det ska gälla, ganska mycket dessutom, men det händer ingenting när jag gör det, det är bara blankt. Ska försöka under dagen här igen få se.

Dkcre skrev:
[...]

Men det står på rad två bredvid "förenkla täljaren" - f(x)×g(x). Sen är minustecknet och allting borta på nästa rad.

[...]

Täljaren är

$(f(x)+h\cdot f'(x))\cdot (g(x)+h\cdot g'(x))-f(x)\cdot g(x)$

Om du multiplicerar ihop parenteserna med distributiva lagen så blir täljaren

$f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h\cdot g'(x)+h\cdot f'(x)\cdot g(x)+h\cdot f'(x)\cdot h\cdot g'(x)-f(x)\cdot g(x)$

Eftersom första och sista termen tar ut varandra så blir den förenklade täljaren

$f(x)\cdot h\cdot g'(x)+h\cdot f'(x)\cdot g(x)+h\cdot f'(x)\cdot h\cdot g'(x)$

Hängde du med?

Undrar också hur du löser ut f(x+h), jag fattar inte hur det går till.

Multiplicera båda sidor med $h$

Och jag har försökt tänka ut varför det ska gälla, ganska mycket dessutom, men det händer ingenting när jag gör det, det är bara blankt. Ska försöka under dagen här igen få se.

Jag är osäler på vad du menar med "det" här (fetmarkerat i citatet). Kan du förtydliga?

Jag hänger med 🙂 tack. Väldigt tydligt.

Jag menar varför approximationen f(x+h) =~ f(x) + h × f'(x) stämmer. Eller liksom, vad säger det för något egentligen, vad händer osv. Det Alex nämner längst ned i sitt inlägg.

Jag tror att det är så att f(x) ger först en punkt på grafen, sedan ifrån den punkten drar vi en rät linje i lutningen som derivatan har just i den punkten sedan multiplicerar vi den med den lilla skillnaden vi hade i funktionen, delta x. Vi får då överdrivet sett en rät linje som egentligen avviker ifrån grafen, och ju mer vi drar ut den här linjen ju mer avviker den eftersom grafen (troligen) är en kurva egentligen. Ja, och första derivatan representerar en tangent linje där.

Men då för ett litet x, minimalt x, så blir det här sett till alla praktiska idéer lika med varandra. Rent matematiskt bör dom kanske aldrig bli lika egentligen dock men, om man ska hårddra det.

Har jag lite rätt? När jag ska förstå saker osv så är det text som gäller för mig.. vet att ni vill ha matematiska uppställningar för att förklara saker men.

Dkcre skrev:
Jag hänger med 🙂 tack. Väldigt tydligt.

OK, bra.

Jag menar varför approximationen f(x+h) =~ f(x) + h × f'(x) stämmer.

Eller liksom, vad säger det för något egentligen, vad händer osv. Det Alex nämner längst ned i sitt inlägg.

Jag tror att det är så att f(x) ger först en punkt på grafen, sedan ifrån den punkten drar vi en rät linje i lutningen som derivatan har just i den punkten sedan multiplicerar vi den med den lilla skillnaden vi hade i funktionen, delta x. Vi får då överdrivet sett en rät linje som egentligen avviker ifrån grafen, och ju mer vi drar ut den här linjen ju mer avviker den eftersom grafen (troligen) är en kurva egentligen. Ja, och första derivatan representerar en tangent linje där.

Men då för ett litet x, minimalt x, så blir det här sett till alla praktiska idéer lika med varandra. Rent matematiskt bör dom kanske aldrig bli lika egentligen dock men, om man ska hårddra det.

Har jag lite rätt? När jag ska förstå saker osv så är det text som gäller för mig.. vet att ni vill ha matematiska uppställningar för att förklara saker men.

Nästan rätt. Jag länkar till ett par avsnitt på matteboken.se som med både text och bild uttrycker det du försöker få grepp om.

Läs först detta avsnitt.

Och sedan detta avsnitt.

Slutligen detta avsnitt.

Fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

Okej, har läst nu.

Vad är det jag inte förstår? Det förklarades inte varför f(x+h) = f(x) + h × f'(x).

Om det inte är ett exakt exempel fattar jag inte.

Jag skulle kunna tänka mig kanske det här:

lim h approaches 0 för f'(x) = lim h approaches 0 för [f(x+h) - f(x)]/h

lim h approaches 0 för f'(x) * h + f(x) = lim h approaches 0 för f(x+h)

Om du sätter h = 0 ser du även att både VL och HL är lika med varandra. Det här är mest en algebraisk härledning på varför det blir så, kanske inte lika intuitivt däremot.

(Vid första ekvationen så innebär det att lim h approaches 0 för f'(x) = f'(x), eftersom det finns ingen h på VL men jag skriver det ändå för att du kan se att både vänster och högerled stämmer)

Däremot skulle jag rekommendera ett annat sätt för att härleda produktregeln för derivatan. Här lärde jag mig bäst om hur det fungerar:

Visualizing the chain rule and product rule | Chapter 4, Essence of calculus

Här förklarar de hur produktregeln funkar på ett mer intuitivt sätt - snälla kolla på den

Dkcre skrev:
Okej, har läst nu.

Vad är det jag inte förstår? Det förklarades inte varför f(x+h) = f(x) + h × f'(x).

Nej, det ska vara ett $\approx$ , inte ett =

Det ska vara $f(x+h)\approx f(x)+h\cdot f'(x)$

Om det inte är ett exakt exempel fattar jag inte.

Bra att du är tydlig med hur du vill ha hjälpen.

Jag försöker ta fram ett exakt exempel och förutsätter då att du känner till sambandet mellan derivata och lutningen hos en sekant.

Tänk dig att du har ritat grafen till funktionen f(x) i ett koordinatsystem.

Du vill nu göra en numerisk uppskattning av derivatans värde vid t.ex. x = 1.

Markera då punkten (1, f(1)) på grafen.

Markera även en annan punkt h steg till höger om den första, dvs (1+h, f(1+h)).

Rita en linje genom dessa två punkter.

Denna linje har lutningen $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

Om nu h är ett väldigt litet tal så är linjens lutning nästan lika med derivatans värde vid x = 1, dvs $f'(1)\approx\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

Detta gäller inte bara för x = 1 utan även för alla möjliga x, vilket ger oss $f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Om du nu multiplicerar båda sidor med h så får du $h\cdot f'(x)\approx f(x+h)-f(x)$

Blev det tydligare då?

Hej,

Jo jag förstår, tack så mycket för förklaringen