Derivatans defintion

Finns det något i b som du känner igen från a? Kan du skriva om uttrycket i b så att derivatan du fick a är en faktor?

Tips: konjugatregeln.

Smutsmunnen skrev:

Finns det något i b som du känner igen från a? Kan du skriva om uttrycket i b så att derivatan du fick a är en faktor?

I uppgiften a. står det bara ange derivatans definition: 

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

Hur kan det hjälpa mig att lösa uppgiften? 

Facit:

Om vi kikar på facits lösning så har vi först $\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})}·\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\frac{\left(f\right(x)-f(a\left)\right)·(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{x-a}$
Det kan man då skriva  $\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}·\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{1}$vilket är samma sak eller hur.

Den andra faktorn är den lättaste. Om $\underset{x\to a}{\lim }$så får vi $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}}{1}=2\sqrt{a}$
Den första faktorn ska ju bli $f\text{'}\left(a\right)$Vi ser att nämnaren går mot noll om $x\to a$
Kanske man kan tänka att $h=x-a$? men hur får vi in det i f(x) i täljaren? 

Så här står i facit antar jag: 

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}*\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{1}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}*\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{1}= \\ =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}*2\sqrt{a}=f\text{'}\left(a\right)*2\sqrt{a}, då x\to a \end{gathered}$$

Nu kvarstår problemet bara: 

$Varför är \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=f\text{'}\left(a\right) när x\to a??$

Jag tror att det kan vara så här:

Om vi betraktar $(x-a)$som $h$ och när $x\to a$så går  $h\to 0$
Vi tittar på $f(a+h)$och ersätter  $h$med  $(x-a)$
Då får vi  $f(a+x-a)$vilket är samma sak som  $f\left(x\right)$

Därför kan vi skriva  $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{(x-a)}$är samma sak som  $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$

Det verkar vara den enda rimligt förklaring.