Derivera

Hur skulle du derivera cos^2(x)?

-sin^2(x)

Nope, inre och yttre funktion?

Hepp..

Yttre cos^2(x) och inre x

Eventuellt yttre 2cos(x) och inre 1. Men jag vet inte riktigt. Då hade jag velat haft det (cos(x))^2 istället.

Jag vet inte, jag gissar bara mest 

(cos(x))^2 går bra att skriva.

Vad blir der. då?

Uhm,

2cos(x) * -sin(x)

Sen kommer jag fram till 2sin(x) / cos^3(x) 

Dkcre skrev:

Sen kommer jag fram till 2sin(x) / cos^3(x) 

Menar du för $\frac{1}{\cos^2x}$ ?

AlexMu skrev:

Dkcre skrev:

Sen kommer jag fram till 2sin(x) / cos^3(x) 

Menar du för $\frac{1}{\cos^2x}$ ?

Ja precis. Men jag håller inte med om exponenten ovanför cos, varför ska det här skrivas på ett annorlunda sätt än exempelvis(x+1)^2? För att cos i sig kan ses som att det har en inbyggd parantes i sig för att det redan är definerat som en yttre funktion.. typ.. antar jag.

Dkcre skrev:

AlexMu skrev:

Visa föregående citat

Dkcre skrev:

Sen kommer jag fram till 2sin(x) / cos^3(x) 

Menar du för $\frac{1}{\cos^2x}$ ?

Ja precis. Men jag håller inte med om exponenten ovanför cos, varför ska det här skrivas på ett annorlunda sätt än exempelvis(x+1)^2? För att cos i sig kan ses som att det har en inbyggd parantes i sig för att det redan är definerat som en yttre funktion.. typ.. antar jag.

Det är bara notation, det har ingen riktig betydelse. Jag tycker, och jag tror många andra också gör det, att det ser snyggt ut att skriva exponenten där. Dessa är samma:

$\cos^2x = (\cos x)^2$

Och din derivata stämmer!

AlexMu skrev:

Dkcre skrev:

Visa föregående citat

AlexMu skrev:

Dkcre skrev:

Sen kommer jag fram till 2sin(x) / cos^3(x) 

Menar du för $\frac{1}{\cos^2x}$ ?

Ja precis. Men jag håller inte med om exponenten ovanför cos, varför ska det här skrivas på ett annorlunda sätt än exempelvis(x+1)^2? För att cos i sig kan ses som att det har en inbyggd parantes i sig för att det redan är definerat som en yttre funktion.. typ.. antar jag.

Det är bara notation, det har ingen riktig betydelse. Jag tycker, och jag tror många andra också gör det, att det ser snyggt ut att skriva exponenten där. Dessa är samma:

$\cos^2x = (\cos x)^2$

Och din derivata stämmer!

Tycker det är bättre att vara konsekvent, plötsliga omskrivningar av allting är vad som gör det svårt. Men kan för den delen acceptera notationen som rimlig..

Okej, vad bra.

Dkcre skrev:

Tycker det är bättre att vara konsekvent, plötsliga omskrivningar av allting är vad som gör det svårt. Men kan för den delen acceptera notationen som rimlig..

Okej, vad bra.

Ja, det är visserligen sant. Jag tycker denna notation är rätt snygg eftersom det tar bort behovet av en parentes. Men det finns självklart problem med att vara konsekvent. Särskilt när det även är vanligt att beteckna arcsin och arccos med $\sin^{-1} x$ och $\cos^{-1} x$. Det kan man ju lika gärna uppfatta som $\frac{1}{\sin x}$ och sådant. 

Det är en dödssynd att skriva arcusfunktionerna med ^-1

Jag är typ kluven på det. Å ena sidan är det inkonsekvent och dåligt för det skapar otydlighet, men å andra sidan ser det rätt snyggt ut! Och ^-1 brukar användas för inverser generellt!

Jag brukar bara använda den notationen jag känner för, ibland kan det, i mina anteckningar stå $\arcsin x$ och $\sin^{-1}x$ i samma uttryck lo

Förstår man mattematik och kan använda sig utav det spelar det väl ingen större roll egentligen hur man formulerar sig, så länge man kommer fram till rätt svar. Lite beroende på kontext osv naturligtvis men.

Jag kommer aldrig att bli duktig på det här, men om jag behärskade matte skulle jag inte lägga någon större energi på att uttrycka uträkningar på ett formellt korrekt sätt om jag inte kände för det. Det är ju enbart vad notationen symboliserar som spelar någon roll. Och slutresultatet. Tycker jag.

AlexMu skrev:

Jag är typ kluven på det. Å ena sidan är det inkonsekvent och dåligt för det skapar otydlighet, men å andra sidan ser det rätt snyggt ut! Och ^-1 brukar användas för inverser generellt!

Jag brukar bara använda den notationen jag känner för, ibland kan det, i mina anteckningar stå $\arcsin x$ och $\sin^{-1}x$ i samma uttryck lo

Men arcusfunktionerna är inte inversfunktioner till de trigonometriska funktionerna egentligen. Man måste begränsa domänen kraftigt för att de ska bli inversfunktioner.

naytte skrev:

AlexMu skrev:

Jag är typ kluven på det. Å ena sidan är det inkonsekvent och dåligt för det skapar otydlighet, men å andra sidan ser det rätt snyggt ut! Och ^-1 brukar användas för inverser generellt!

Jag brukar bara använda den notationen jag känner för, ibland kan det, i mina anteckningar stå $\arcsin x$ och $\sin^{-1}x$ i samma uttryck lo

Men arcusfunktionerna är inte inversfunktioner till de trigonometriska funktionerna egentligen. Man måste begränsa domänen kraftigt för att de ska bli inversfunktioner.

Vilken definition använder du då? De två definitionerna jag kan tänka på är (för arcsin)

$\displaystyle\arcsin x := \int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm dy$

eller som invers till den exponentiella formen av sinus, vilket då blir någon logaritmisk funktion (med olika grenar). Och i båda dessa fallen blir definitionsmängden rätt begränsad. Eller tja, kanske inte för logaritmen.. 

Det finns olika definitioner men det exakta valet av definition är inte så viktigt. Poängen är att en egenskap en inversfunktion $f^{-1}$ har är att:

$f^{-1}(f(x)) = x$

Men detta stämmer inte för arcusfunktionerna om man inte begränsar domänen till de trigonometriska funktionerna.

$\arcsin$ är bara en invers till $\sin$ om den är definierad på $[-\pi/2, \pi/2]$.

naytte skrev:

Det finns olika definitioner men det exakta valet av definition är inte så viktigt. Poängen är att en egenskap en inversfunktion $f^{-1}$ har är att:

$f^{-1}(f(x)) = x$

Men detta stämmer inte för arcusfunktionerna om man inte begränsar domänen till de trigonometriska funktionerna.

$\arcsin$ är bara en invers till $\sin$ om den är definierad på $[-\pi/2, \pi/2]$.

Jodå, det förstår jag också, men exempelvis integralen är endast konvergent för $|x| \leq 1$ (reella tal). Hur kan man definiera $\arcsin$ utanför detta domän? Menar du exempelvis med denna?

$\arcsin z = -i \log\left(iz +\sqrt{1-z^2}\right)$. 

Som håller för alla $z \in \mathbb C$ (tror jag, intuitivt iaf)

Ja alltså man brukar inte göra det, vilket är det jag menar. Det mejkar inte så mycket sense imo att kalla den för inversfunktion eftersom den inte är en invers på hela sinus domän, vilket talar mot skrivsättet $\sin^{-1}$

Ja, det stämmer väl. Och det har väl att göra med att $\sin x$ inte är en bijektion på hela dess domän? 

Men på samma sätt kan vi, om vi kikar på $\mathbb C$ säga samma sak om $e^x$ och $\log x$. Men ja, man skriver i alla fall inte $\log x$ som $\exp^{-1}(x)$... 

(Det är dock en annan diskussion om $\log x$, $\ln x$, osv lol, jag bryr mig inte så mycket men jag föredrar att säga "log" än "ln" eftersom det är en stavelse. Det har färgat av så att jag nästan alltid skriver log, om inte jag slängt in något uttryck i desmos då den inte tolkar det som bas $e$. Om jag kopierar uttryck från desmos låter jag logaritmer vara kvar som $\ln$)

Ja precis. En funktion är inverterbar om och endast om den är en bijektion