Deriverbarhet

Vad betyder det att en funktion $f(x)$ är deriverbar i alla punkter? 

f(x) = $\left|x\right|$är t.ex. inte deriverbar för f(0)

Tigster skrev :

f(x) = $\left|x\right|$är t.ex. inte deriverbar för f(0)

Möjligt. Så vad betyder just deriverbarhet? Det måste stå något i din kursbok om en definition. Det finns lite krav på det. :)

Tigster skrev :

f(x) = $\left|x\right|$är t.ex. inte deriverbar för f(0)

Precis! Gränsvärdet är -1 från vänster och +1 från höger för lutningen.

"Om gränsvärdet existerar i en punkt x0 sägs funktionen vara deriverbar i punkten x0. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden sägs funktionen vara deriverbar."

Jag kanske formulerade trådtiteln fel, men frågan kvarstår dock, måste grafen till f'(x) vara kontinuerlig för att f(x) ska vara deriverbar i alla punkter?

Tigster skrev :

f(x) = $\left|x\right|$är t.ex. inte deriverbar för f(0)

Nej. Här fick du ett motexempel. Funktionen f(x) = |x| är kontinuerlig trots att den saknar derivata i punkten x = 0.

Fast grafen till f'(x) av f(x) = |x| ger ett hopp vid 0. Grafen till derivatan är inte kontinuerlig för |x| och inte heller deriverbar vid hoppet i grafen. Finns det undantag?

Hej Tigster!

Stämmer det att du undrar om följande påstående är sant?

    Om $f(x)$ är deriverbar i varje punkt $x$ i definitionsmängden så är derivatan $f'(x)$ kontinuerlig i varje punkt $x$ i definitionsmängden. 

Påståendet är samma sak som följande kontrapositiva påstående.

    Om det finns en punkt $x$ i definitionsmängden där derivatan $f'(x)$ är icke-kontinuerlig så finns det en punkt $y$ i definitionsmöngden där $f(y)$ är icke-deriverbar. 

Funktionen f(x) = |x| (där x är reellt tal) är ett exempel på det kontrapositiva påståendet. 

Albiki

Nu måste jag säga att jag tycker att alla som svara $|x|$ är helt ute och cyklar. Derivatan för den är inte diskontinuerlig, den är icke existerande i x = 0, men inte diskontinuerlig.

Ett exempel på det som Tigster frågar efter är

$f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}\right.$

Nu gäller det att

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^2\sin \left({\displaystyle \frac{1}{h}}\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }h\sin \left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle h}}\right)=0$

Så derivatan i x = 0 är alltså noll. Så man får att

$f\text{'}\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{ll}2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}\right.$

Du kan verifiera enkelt att denna inte är kontinuerlig i x = 0.