derivering

Hej, jag har en uppgift där jag har löst första uppgiften genom vanlig derivering men har lite svårare med slutet på b uppgiften och c.

Uppgifter är:

Låt f(x)= $\sqrt{1 - \frac{1}{x}}, x \geq 1$

a) Beräkna f(2) och f´(2)

b) Ta fram inversen g(x)= $f^{- 1} (x)$ ange funktionsuttryck och definitionsmängd.

c) Beräkna g´(f(2)) med det f(2) du räknade fram i a

Jag fick i a att f(2) blir $\frac{1}{\sqrt{2}}$ och f´(2) $\frac{\sqrt{2}}{8}$

I b fick jag $y = \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \leftrightarrow y^{2} = 1 - \frac{1}{x} \leftrightarrow \frac{1}{x} = 1 - y^{2}$ men sedan får dom $x = \frac{1}{1 - y^{2}}$ och att $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$ men där förstår jag inte riktigt hur dom går från $\frac{1}{x} = 1 - y^{2}$ till $x = \frac{1}{1 - y^{2}}$

Korsvis multiplikation.

JnGn skrev :
... där förstår jag inte riktigt hur dom går från $\frac{1}{x} = 1 - y^{2}$ till $x = \frac{1}{1 - y^{2}}$

Om $a=b$ (och om varken a eller b är lika med 0) så gäller att $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}$ .

Du kan då alltså invertera bägge led, vilket ger dig resultatet.

okej och i c ska man alltså räkna ut derivatan till $(\frac{1}{\sqrt{2}}) ?$ ?

Du ska beräkna derivatan till g och utvärdera den i $1/\sqrt{2}$ .

Jag vet inte om det är fusk att tänka att $g (f (x)) = x$ och att derivera bägge sidor (kedjeregeln på vänsterledet) $g' (f (x)) f' (x) = 1$ så att $g' (f (x)) = 1 / f' (x)$ . Om inte annat är det ett enkelt sätt att kolla att svaret man får är rätt. Inversen är liksom samma graf speglad i linjen y=x, så lutningen (derivatan) blir också speglad i den linjen.

Stokastisk skrev :
Du ska beräkna derivatan till g och utvärdera den i $1/\sqrt{2}$ .

ska jag alltså beräkna derivatan av inversen

Ja.

Eller använd det som PeBo visade.

Svara Avbryt

Visa senaste svar