Diff ekvation finn lösning

Om du skulle lösa differentialekvationen vanligt så skulle du få med två godtyckliga konstanter. Om du lyckas bestämma två allmänna lösningar kan du sätta dessa till godtyckliga värden för att få två lösningar.

Jag kan inte göra det. Har absolut ingen aning.

Jag ser ingen direkt lösning, och då måste jag sitta och gissa tills jag ramlar över någonting som råkar passa.. vilket jag inte heller gör.

Värdet av andraderivatan ska vara 100 gånger mindre än värdet av primitiva funktionen, och jag tänker mig då någonting som blir mindre med gånger 10 varje gång det deriveras, kanske. 

Detta är en homogen differentialekvation av andra ordningen. Vi ser att den är homogen eftersom den kan skrivas som $100y\prime\prime-y=0$. Ett knep för att lösa homogena differentialekvationer är att ansätta $y=e^{rx}$. Testa att göra detta, och substituera in din ansats. Du kommer se att du kan dela bort en jobbig faktor och att du kommer kunna bestämma $r$.

Det är svårt för mig.

Vad är en homogen diff ekvation?

Att den är homogen innebär att högerledet är lika med noll. Alla differentialekvationer av andra ordningen som kan skrivas på formen $ay\prime\prime + by\prime + cy = 0$ kallas homogena. Detta är ett centralt begrepp eftersom det för en generell differentialekvation av andra ordningen, $ay\prime\prime + by\prime + cy = f(x)$, krävs en homogen lösning och en partikulär lösning för att lösa hela ekvationen. Det finns mycket teori kring detta och det är långt ifrån trivialt, så oroa dig inte om det känns överväldigande!

Hur som helst har du gjort helt rätt! Men kom ihåg att $k^2 = 1/100$ har två lösningar. Du har missat den negativa roten.

Hur som helst kommer vi fram till att $y=e^{-x/10}$ och $y= e^{x/10}$ är lösningar. Enligt lite fiffig teori vet vi också att alla linjärkombinationer av dessa kommer vara lösningar, alltså är den allmänna, homogena lösningen (och alltså hela lösningen eftersom ekvationen är homogen):

$\displaystyle y=c_1e^{-x/10} + c_2e^{x/10}$

för två reella konstanter $c_1$, $c_2$.

Nu kan du variera dessa (t.ex. sätta båda till 1 och 0) så har du dina två lösningar!

Du nämner många begrepp som jag aldrig har hört talas om förut, så jag vet inte riktigt vad du menar.

Men jag förstår lösningen hur som helst.

Tack :)

Som sagt, teorin bakom differentialekvationer kan bli ganska teknisk. Jag begrep inte heller allting när vi först började läsa om detta i Matte 5, utan det räckte gott att bara lära sig lösa dem, förståelse kan man alltid få senare! :)