Diff.ekvation - varför kan det ena fallet uteslutas?

Du menar väl första ordningens ekvation, d.v.s. $y^\prime - y\ln y = 0$, eller?

Man bör nog ta hänsyn till begynnelsevillkoret.

Man är intresserad av den lösning som uppfyller att $y(0)=e^{-1}$, d.v.s. den lösning där $\ln(y(0)) = \ln(e^{-1}) = -1$. Det är alltså bara fallet $0 < y(x) < 1$ som är relevant i denna situation.

Om man inte hade något begynnelsevillkor, så får man tre fall som dock kan skrivas ihop m.h.a. en lämpligt vald konstant.

Fall 1 ($y(x) > 1$) motsvarar  $y(x) = e^{e^{x+c_1}} = e^{k\,e^x}$, där $k=e^{c_1}>0$ är en godtycklig positiv konstant.

Fall 2 ($y(x) = 1$) motsvarar den konstanta lösningen $y(x) = 1 = e^{0} = e^{k\,e^x}$, där $k=0$.

Fall 3 ($0 < y(x) < 1$) motsvarar  $y(x) = e^{-e^{x+c_1}} = e^{k\,e^x}$, där $k=-e^{c_1}<0$ är en godtycklig negativ konstant.

Alla tre fall ihopskrivna: $y(x) = e^{k\,e^x}$, där $k \in \mathbb{R}$ är ett godtyckligt tal.

Men är inte funktionen jag har definierat i mitt sista stycke också en lösning på differentialekvationen? Om vi stoppar in begynnelsevillkoret bestäms $c_1 = 0$. Således har vi:

$\displaystyle y\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-e^{x}},&& y(x) < 1\\ e^{e^{x}}, && y(x) \ge 1\end{array}\right.$

Är inte detta en funktion som:

• Satisfierar $\displaystyle y'-y\ln y = 0$
• Uppfyller begynnelsevillkoret

?

Tillägg: 10 apr 2025 16:06

Ja, jag menar första ordningen. Skrev fel.

Nej, funktioner  $x \mapsto e^{-e^x}$  och  $x \mapsto e^{e^x}$  är två separata lösningskurvor som aldrig möts. (De har samma gränsvärde då $x\to-\infty$, men de är aldrig lika)

Lägg märke till att falluppdelning inte gäller den oberoende variabeln $x$, utan funktionskurvans $y$-värde.

Ah, jag tror jag förstår nu. Det jag har definierat är väl formellt sett inte ens en funktion eftersom varje värde på $x$ mappas till två värden på $y$?

Exakt.

Jag är däremot fortfarande inte riktigt med på hur man ska hantera absolutbeloppet. Hur kan vi veta från början att lösningen $y(x) \le 1 \;\; \forall x$?

Jag antar att du löste ekvationen som en separabel DE.

Vid separationen vill man dividera med uttrycket $y \cdot \ln y$. Detta uttryck är lika med noll när $y=1$. Det innebär att divisionen är olagligt ifall $y=1$. Därmed får man en konstant lösning $y(x)=1$ för alla $x$.

Den givna ekvationen $y^\prime = y\cdot \ln y$ uppfyller (lokalt) förutsättningarna av Picard–Lindelöfs sats om entydigheten av lösningar till ODE:er. Det innebär att det till varje utvald punkt i $xy$-planet finns exakt en lösningskurva som går igenom den punkten.

Har man nu någon lösning annan än konstant $y(x)\equiv 1$, så kan den lösningen aldrig korsa linjen $y=1$ eftersom det skulle strida mot entydigheten av ODE:s lösningar. Det finns ju redan lösningen $y(x) \equiv 1$ som går igenom alla punkter på linjen $y=1$.

Man vet alltså att ingen lösningskurva kommer att överskrida den vågräta linjen $y=1$, så den måste hålla sig antingen under den linjen för alla $x$, eller över den linjen för alla $x$.