9 svar
42 visningar
Dude.96 65
Postad: 11 jan 2019 Redigerad: 11 jan 2019

differentialekvation

Hej!

 

Har tenta om ett par dagar. Har fastnat helt och hållet på denna teorifrågan. 

" Bestäm en funktion f(x) sådan att f(x)0,  f(0)=0, f(1)=1, och arean under kurvan y(x) mellan 0 och x är proportionell f(x)n+1.

En kommentar från läraren ser ut så här:

 Jag har dock svårt att hitta integralen. Jag har tänkt så här typ:

k(n+1)dydx=y1-ndyy(1-n)=1k(n+1)dxdyy-(n-1)=1k(n+1)dx   (Notera: bryter ut ett minus tecken)yn-1dy=1k(n+1)dxynn=xk(n+1)+C   (ty yn-1dy=yn-1+1n-1+1=ynn)Så vi har att ynn=xk(n+1)+C

Vi vet också att f(0)=0 och f(1)=1

Svaret ska bli y=x1n

Om mitt resonemang stämmer, hur går man vidare!

 

Tack!

Din lärare har skrivit HL som y1-ny^{1-n}, du har skrivit HL som yn-1y^{n-1}. Varför?

Dude.96 65
Postad: 11 jan 2019 Redigerad: 11 jan 2019

Jag har ändrat det nu! Det var bara första raden som är fel.

Sen det jag gör är att dividera med y^(1-n) för att få det på dy sidan

därefter bryter jag ut en minustecken y^(1-n) =y^-(-1+n) och få upp det på täljaren. Därför blir det y^(n-1)

Du har tappat bort dx i HL på andra raden. På något sätt har du fått dy i HL på tredje raden - så skall det inte vara. Sedan kändes det inte meningsfukkt att försöka förstå mer.

Dude.96 65
Postad: 11 jan 2019
Smaragdalena skrev:

Du har tappat bort dx i HL på andra raden. På något sätt har du fått dy i HL på tredje raden - så skall det inte vara. Sedan kändes det inte meningsfukkt att försöka förstå mer.

 Nu har jag uppdaterat och fixat till de misstagen och visat lite tydligare hur jag tänkte.

Men jag kommer ändå ingenstans med denna lösningen. Kan du se ett mönster?

Albiki 3943
Postad: 11 jan 2019

Hej!

Texten säger att integralen 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt ska vara proportionell mot funktionen f(x)n+1.f(x)^{n+1}.

    0xf(t)dt=k·f(x)n+1 ,  x0.\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    f(x)=k·(n+1)f(x)n·f'(x)f'(x)-1k(n+1)f(x)1-n=0 ,  x>0.f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.

Albiki 3943
Postad: 11 jan 2019 Redigerad: 11 jan 2019

Differentialekvationen är separabel och kan skrivas

    1f(x)1-ndf(x)=1k(n+1)dx ,  x0\displaystyle\int \frac{1}{f(x)^{1-n}}\,df(x) = \int \frac{1}{k(n+1)}\,dx\ , \quad x\geq 0.

Om 1-n11-n\neq 1 så är ekvationen samma sak som

    1nf(x)n=C+xk(n+1);\frac{1}{n}f(x)^{n} = C + \frac{x}{k(n+1)};

annars är ekvationen samma sak som

    f'(x)-1k(n+1)f(x)=0 ,  x0.f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x) = 0\ , \quad x\geq 0.

Om n0n\neq 0 så ger kravet f(0)=0f(0) = 0 att C=0C = 0 och kravet f(1)=1f(1) = 1 bestämmer konstanten kk.

Om n=0n=0 så är funktionen f(x)=Cexk(n+1)f(x) = Ce^{\frac{x}{k(n+1)}} (för x0x\geq 0) och kravet f(0)=0f(0) = 0 ger kravet C=0C = 0, så funktionen f(x)=0f(x) = 0 för alla xx; kravet f(1)=1f(1) = 1 kan alltså inte uppfyllas. Därför kan fallet n=0n=0 inte uppstå.

Dude.96 65
Postad: 11 jan 2019
Albiki skrev:

Hej!

Texten säger att integralen 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt ska vara proportionell mot funktionen f(x)n+1.f(x)^{n+1}.

    0xf(t)dt=k·f(x)n+1 ,  x0.\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    f(x)=k·(n+1)f(x)n·f'(x)f'(x)-1k(n+1)f(x)1-n=0 ,  x>0.f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.

 Kan ni visa hur ni tänker? Jag kommer ingenstans!!

Dude.96 65
Postad: 11 jan 2019
Albiki skrev:

Differentialekvationen är separabel och kan skrivas

    1f(x)1-ndf(x)=1k(n+1)dx ,  x0\displaystyle\int \frac{1}{f(x)^{1-n}}\,df(x) = \int \frac{1}{k(n+1)}\,dx\ , \quad x\geq 0.

Om 1-n11-n\neq 1 så är ekvationen samma sak som

    1nf(x)n=C+xk(n+1);\frac{1}{n}f(x)^{n} = C + \frac{x}{k(n+1)};

annars är ekvationen samma sak som

    f'(x)-1k(n+1)f(x)=0 ,  x0.f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x) = 0\ , \quad x\geq 0.

Om n0n\neq 0 så ger kravet f(0)=0f(0) = 0 att C=0C = 0 och kravet f(1)=1f(1) = 1 bestämmer konstanten kk.

Om n=0n=0 så är funktionen f(x)=Cexk(n+1)f(x) = Ce^{\frac{x}{k(n+1)}} (för x0x\geq 0) och kravet f(0)=0f(0) = 0 ger kravet C=0C = 0, så funktionen f(x)=0f(x) = 0 för alla xx; kravet f(1)=1f(1) = 1 kan alltså inte uppfyllas. Därför kan fallet n=0n=0 inte uppstå.

 Oki nu känns det lite mer tydligare. Jag måste sitta o lugn och ro och försöka fatta detta steg för steg!

Tack för hjälpen i alla fall!

Albiki 3943
Postad: 11 jan 2019
Dude.96 skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Texten säger att integralen 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt ska vara proportionell mot funktionen f(x)n+1.f(x)^{n+1}.

    0xf(t)dt=k·f(x)n+1 ,  x0.\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt = k \cdot f(x)^{n+1}\ , \quad x\geq 0.

Derivera båda sidor i denna likhet för att få

    f(x)=k·(n+1)f(x)n·f'(x)f'(x)-1k(n+1)f(x)1-n=0 ,  x>0.f(x) =k \cdot (n+1)f(x)^n \cdot f'(x) \iff f'(x) - \frac{1}{k(n+1)}f(x)^{1-n}=0\ , \quad x>0.

 Kan ni visa hur ni tänker? Jag kommer ingenstans!!

  •  Om du deriverar 0xf(t)dt\int_{0}^{x}f(t)\,dt med avseende på xx så får du f(x)f(x). Detta är Integralkalylens fundamentalsats.
  • Om du deriverar f(x)n+1f(x)^{n+1} med avseende på x så får du (n+1)f(x)n·f'(x)(n+1)f(x)^{n}\cdot f'(x). Detta är Kedjeregeln.
Svara Avbryt
Close