4 svar
128 visningar
Idil M 283
Postad: 28 jun 2018 21:10

Direkt produkt

Hej

jag har en uppgift där jag inte förstår hur man ska få fram det rätta svaret.

Finn m och n så att *32m×n

Det man kan konstatera är ju att både m och n måste vara en delare till 32 men det ger ju flera olika svar så hur ska man veta om det blir m=2 n=16 eller m=4 och n=8?

Prontera 61
Postad: 29 jun 2018 14:20

Jag skulle säga att båda är korrekta svar. I uppgiften frågas bara efter några m och n sådana att isomorfin gäller, och både m = 2, n = 16 och m = 4, n = 8 uppfyller ju det.

dioid 181
Postad: 29 jun 2018 17:18

Här ska nog Z*32 vara den multiplikativa gruppen (mod 32), dvs den består av talen x som har gcd(x,32) = 1, dvs de udda talen 1, 3, 5, ..., 31. Gruppoperationen är multiplikation. Det går snabbt att se att 31 har ordning 2 (det är ju -1), men även 15 och 17 har det. Kolla på 3 (dvs räkna ut 3^k mod 32), hur många gånger går det tills du är tillbaks på 1? Det ger ordningen för 3. Det innebär att de talen genererar en delgrupp av den ordningen. Det ger dig n, och m blir då 2. På högersidan är det grupper med addition som gruppoperation och modulo m resp n.

Idil M 283
Postad: 30 jun 2018 15:33

om man tar 3kmod32 får jag 3,9,27,17,25,11,1=03=7  eftersom 3^7=1 mod 32

men hur får vi att 31 har ordning 2, ska vi göra samma sak med 31 som med 3 och ta 31k mod 32 då får jag 31,1 och därmed ordningen 2 

men det jag inte förstår är att vi har då att gcd(x,32)=1 de udda talen mellan 1 och 31 så kan man bara ta vilka två tal som helst eller varför just i detta fall då talen 31 och 3 och sedan räkna ut ordningen för de talen?

dioid 181
Postad: 1 jul 2018 13:20

Du har missat 19 mellan 17 och 25, så O(3)=8 (det kan bara vara 2, 4, 8 el 16 eftersom det måste dela antal element i gruppen som är 16). 

Ja, för 31 får du enklast (31)^2=(-1)^2=1. 

De tal x som är inverterbara mod 32 är de som har gcd(x,32)=1. Det är de udda talen. Eftersom 15, 17 och 31 har ordning 2 så är Z_2 x Z_2 en delgrupp. När du sen hittat att O(3)=8 så vet du att Z_8 är en delgrupp och enda möjligheten är då att gruppen är isomorf med Z_2 x Z_8. 

Du hade kunnat tagit annat tal än 3, totalt finns 8 st med ordning 8 (en av de är 3) och 4 med ordning 4 och 3 med ordning 2 och slutligen det neutrala elementet. Hade du tagit ett med ordning 4 vet du bara att Z_2 x Z_4 är en delgrupp och hela gruppen kan vara Z_2 x Z_8 eller Z_2 x Z_2 x Z_4. Alltså måste du kolla ytterligare element i det fallet för att avgöra vilket det är. 

Svara Avbryt
Close