8 svar
131 visningar
Sami 58
Postad: 24 nov 2018 11:38

Dubbelintegral

Förstår att man skall byta till polära koordinater 

y = rsin(t)

x= rcos(t) 

där 1<r<2 och 0< t<Pi/4, eller tänker jag fel?

AlvinB 3987
Postad: 24 nov 2018 11:54 Redigerad: 24 nov 2018 12:03

Det låter utmärkt!

Eftersom x2+y2=1x^2+y^2=1 och x2+y2=4x^2+y^2=4 beskriver cirklar med radien 11 respektive 22 får vi 1r21\leq r\leq2 och y=0y=0 och y=xy=x bildar vinkeln π4\frac{\pi}{4} mellan dem får man 0tπ40\leq t\leq\frac{\pi}{4}.

Sami 58
Postad: 24 nov 2018 12:14

Eller blir det inte 0< t<Pi\2 då området är första kvadranten?

AlvinB 3987
Postad: 24 nov 2018 12:22

Nja, området är ju bara "halva" första kvadranten (det rödmarkerade på min bild) eftersom y skall vara mindre än linjen y=x.

Ett sätt att försäkra sig om att vinkeln är π4 är att rita upp en triangel:

Eftersom x=yx=y blir vinkeln:

v=tan-1(yx)=tan-11=π4v=\tan^{-1}(\dfrac{y}{x})=\tan^{-1}\left(1\right)=\dfrac{\pi}{4}

Sami 58
Postad: 24 nov 2018 14:50

Alltså blir dubbel integralen 

 

r^2tan(t)*r dxdr?

Smaragdalena 54885 – Lärare
Postad: 24 nov 2018 15:30
Sami skrev:

Alltså blir dubbel integralen 

 

r^2tan(t)*r dxdr?

 Nej - du har tre variabler (r, t och x) men skall bara ha två.

Sami 58
Postad: 24 nov 2018 16:10

Oj ser nu 

r *tan^2(t) drdt

Smaragdalena 54885 – Lärare
Postad: 24 nov 2018 16:13

Vilka integrationsgränser har du?

Albiki 5320
Postad: 24 nov 2018 16:30

Med tanke på att både integranden och integrationsområdet innehåller kvoten y/xy/x kan det vara värt att prova variabelbytet u=y/xu=y/x och v=xv =x, så att y=uvy = uv vilket ger dydx=vdudvdydx = vdudv

Området beskrivs av

    0<u<10<><> och 1/(1+u2)<v2<4/(1+u2)1/(1+u^2)<><4>

så att dubbelintegralen  kan skrivas 

    uvu2vdudv==1.5(1-π/4).\displaystyle \int_u \int_v u^2 vdudv =\ldots = 1.5(1-\pi/4).

Svara Avbryt
Close