Dubbelintegral

Det låter utmärkt!

Eftersom $x^2+y^2=1$ och $x^2+y^2=4$ beskriver cirklar med radien $1$ respektive $2$ får vi $1\leq r\leq2$ och $y=0$ och $y=x$ bildar vinkeln $\frac{\pi}{4}$ mellan dem får man $0\leq t\leq\frac{\pi}{4}$.

Eller blir det inte 0< t<Pi\2 då området är första kvadranten?

Nja, området är ju bara "halva" första kvadranten (det rödmarkerade på min bild) eftersom $y$ skall vara mindre än linjen $y=x$.

Ett sätt att försäkra sig om att vinkeln är $\frac{\pi }{4}$ är att rita upp en triangel:

Eftersom $x=y$ blir vinkeln:

$v=\tan^{-1}(\dfrac{y}{x})=\tan^{-1}\left(1\right)=\dfrac{\pi}{4}$

Alltså blir dubbel integralen 

r^2tan(t)*r dxdr?

Sami skrev:

Alltså blir dubbel integralen 

 

r^2tan(t)*r dxdr?

 Nej - du har tre variabler (r, t och x) men skall bara ha två.

Oj ser nu 

r *tan^2(t) drdt

Vilka integrationsgränser har du?

Med tanke på att både integranden och integrationsområdet innehåller kvoten $y/x$ kan det vara värt att prova variabelbytet $u=y/x$ och $v =x$, så att $y = uv$ vilket ger $dydx = vdudv$. 

Området beskrivs av

    $0<><>$ och $1/(1+u^2)<><4>$

så att dubbelintegralen  kan skrivas 

    $\displaystyle \int_u \int_v u^2 vdudv =\ldots = 1.5(1-\pi/4).$