DubbelIntegral — Begränsad område (2) (Matematik/Universitet)

Soderstrom skrev:
Hej!
Jag löser en uppgidt och då tror jag att jag har förstått konceptet men sen stöter jag på ett nytt problem! Okej...
Jag ska beräkna integralen:
"Inside" $\displaystyle x^2 +2y^2 =8$ .
"Above" $\displaystyle z=y-4$ .
"Below" $\displaystyle z=8-x$
Har gjort såhär:
Hur väljer jag ingredienserna för integralen?
Tack på förhand.

Var det ordet ingredienser du menade?

"Inside" borde vara en olikhet, inte en likhet. De andra också.

"Above" verkar alltid vara under "Below" (samtidigt som Suzi Quatro sjunger ordet "below"), så har du valt orden rätt?

Du har ingen integral än. Vad ska du beräkna? Volymen?

Edit: jo, där var ju en integral, men vad betyder den?

Oops, Laguna. Jag menade "gränserna", inte "ingredienserna".

Jag citerar uppgiften: Inside the cylinder $\displaystyle x^2+2y^2=8$ , above the plane $\displaystyle z= y- 4$ , and below the plane $\displaystyle z = 8 - x$

Soderstrom skrev:
Oops, Laguna. Jag menade "gränserna", inte "ingredienserna".
Jag citerar uppgiften: Inside the cylinder $\displaystyle x^2+2y^2=8$ , above the plane $\displaystyle z= y- 4$ , and below the plane $\displaystyle z = 8 - x$

Hur långt är det i z-led mellan de båda planen för givna x och y?

$12$ längdenheter. Men hur hjälper detta mig!? :(

Har du lust att lägga in en bild på uppgiften?

Moffen skrev:
Har du lust att lägga in en bild på uppgiften?

Absolut, dock ingen bild, utan text. Jag citerar:

"In Exercises 19–28, find the volumes of the indicated solids.

28. Inside the cylinder $\displaystyle x^2 + 2y^2 =8$ , above the plane $\displaystyle z = y - 4$ ,
and below the plane $\displaystyle z = 8-x$ "

Hur fick du 12?

Soderstrom skrev:
Moffen skrev:
Har du lust att lägga in en bild på uppgiften?
Absolut, dock ingen bild, utan text. Jag citerar:

"In Exercises 19–28, find the volumes of the indicated solids.
28. Inside the cylinder $\displaystyle x^2 + 2y^2 =8$ , above the plane $\displaystyle z = y - 4$ ,
and below the plane $\displaystyle z = 8-x$ "

Tack.

Det här skulle jag beräkna med en trippelintegral med integranden 1. Då får du volymen över det område du integrerar över (som du då använder som gränserna för integralerna). Jag vet inte om man på något smart sätt kan göra det direkt med en dubbelintegral (förutom det obvious sättet att använda integranden du får från din trippelintegrals första integrering)?

Hur som helst. Jag skulle nog först sätta upp $\iiint_{K} 1\mathrm{d}V$ där $K$ är kroppen du vill integrera över, och börja med $z$ koordinaten, för då kan du sen använda polära koordinater för $x, y$ koordinaterna:

$\iiint_{K}1 \mathrm{d}V = \iint_{D}\int_{?}^{?} \mathrm{d}z \mathrm{d}x \mathrm{d}y=...$ Vad har du för $z$ -gränser?

Tack Moffen. Den här uppgiften ska man lösa med dubbelintegral. Vi har inte börjat med trippelintegral ännu tyvärr.

Laguna skrev:
Hur fick du 12?

Det ena skär $z$ -axeln i $8$ och det andra i $-4$ . Eller är jag ute och cyklar?

Locket går längs z = 8 - x, och botten längs z = y - 4. Så om du tänker dig området indelat i staplar, där varje stapel har en basyta i xy-planet (och som görs infinitesimalt tunn, dvs en area av dxdy), blir höjden på varje stapel (8-x)-(y-4). Multiplicera höjden med arean dxdy så har du ett volymelement. Integrera dessa över hela området så får du volymen.

Skaft skrev:
Locket går längs z = 8 - x, och botten längs z = y - 4. Så om du tänker dig området indelat i staplar, där varje stapel har en basyta i xy-planet (och som görs infinitesimalt tunn, dvs en area av dxdy), blir höjden på varje stapel (8-x)-(y-4). Multiplicera höjden med arean dxdy så har du ett volymelement. Integrera dessa över hela området så får du volymen.

Tack, Skaft. Jag är med på hur du tänker men ändå inte.

blir höjden på varje stapel (8-x)-(y-4).

Så om jag tar båda planen minus varandra så får jag volymen de begränsar? Är helt lost :(

Soderstrom skrev:
Skaft skrev:
Locket går längs z = 8 - x, och botten längs z = y - 4. Så om du tänker dig området indelat i staplar, där varje stapel har en basyta i xy-planet (och som görs infinitesimalt tunn, dvs en area av dxdy), blir höjden på varje stapel (8-x)-(y-4). Multiplicera höjden med arean dxdy så har du ett volymelement. Integrera dessa över hela området så får du volymen.
Tack, Skaft. Jag är med på hur du tänker men ändå inte.
blir höjden på varje stapel (8-x)-(y-4).
Så om jag tar båda planen minus varandra så får jag volymen de begränsar? Är helt lost :(

Volymen får du inte. Du får höjden på den trunkerade cylindern för dessa x och y. Volymen får du om du integrerar över hela xy-området.

Laguna skrev:
Soderstrom skrev:
Skaft skrev:
Locket går längs z = 8 - x, och botten längs z = y - 4. Så om du tänker dig området indelat i staplar, där varje stapel har en basyta i xy-planet (och som görs infinitesimalt tunn, dvs en area av dxdy), blir höjden på varje stapel (8-x)-(y-4). Multiplicera höjden med arean dxdy så har du ett volymelement. Integrera dessa över hela området så får du volymen.
Tack, Skaft. Jag är med på hur du tänker men ändå inte.
blir höjden på varje stapel (8-x)-(y-4).
Så om jag tar båda planen minus varandra så får jag volymen de begränsar? Är helt lost :(
Volymen får du inte. Du får höjden på den trunkerade cylindern för dessa x och y. Volymen får du om du integrerar över hela xy-området.

Åh herregud. Tack!! Ska ge uppgiften ett försökt och se!

Edit: Jag har nog gjort fel någonstans. $8\pi$ är arean av ellipsen...

Jag vet inte vad som hände där. Förutom att +y borde vara -y från rad 2 så är integralberäkningen tyvärr ganska långt från där den borde vara. Du har t.ex. helt skippat att bestämma en primitiv funktion. Kanske behöver du se några exempel på hur dubbelintegraler beräknas? PatrickJMT har några toppenvideos på ämnet.

Du har (nästan) kommit fram till att höjden för varje dxdy ska vara $f(x,y)=12-x-y$

Nu vill du utföra integralen:

$\displaystyle \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Där det elliptiska området $D$ ges av $x^2+2y^2\leq8$

Jag skulle föreslå att du inför elliptiska koordinater $(r,\varphi)$ för bottenytan.

Hur ser din funktion ut i de nya variablerna?

Vad blir gränserna?

Hur ser funktionaldeterminanten för variabelbytet ut?

Hur ser integralen ut?

Tack alla. Vi har inte gått igenom elliptiska koordinater. Det enda jag har problem med nu är integrationsgränserna. Hur bestämmer man dem i detta fall?

Om du inte gör ett variabelbyte så är gränserna det som begränsar x och y. Den informationen ligger "inpackad" i olikheten $x^2 + 2y^2 \leq 8$ . Vi kan t.ex. fråga, vad kan x vara som minst, och vad kan x vara som mest? Lös ut x:

$x^2 \leq 8 - 2y^2$

Detta gäller om $-\sqrt{8 - 2y^2} \leq x \leq \sqrt{8 - 2y^2}$ . Dessa kan du därför använda som nedre och övre gräns på din inre integral, där x är integrationsvariabeln. Men dessa gränser beror ju av y, så det skickar vidare frågan ett led: hur litet och stort kan y vara? Nu kan vi inte svara något som beror på x, för då beror båda gränser på varann. Utan vi frågar rätt och slätt, vad är det minsta möjliga y-värdet som kan uppfylla $x^2 + 2y^2 \leq 8$ , och vad är det största möjliga? Dessa värden blir gränserna på din yttre integral, som har y som variabel.

(det går att lösa integralen på det här sättet, men den blir lite snårig. Meningen är nog som Jroth säger att byta koordinatsystem. Prova båda sätt, tycker jag)

Jag har nog löst den tror jag. Jag tog 12 multiplicerat med arean av ellipsen. x och y försvinner för symmetrin. Skulle nån kunna bekräfta?

Soderstrom skrev:
Jag har nog löst den tror jag. Jag tog 12 multiplicerat med arean av ellipsen. x och y försvinner för symmetrin. Skulle nån kunna bekräfta?

Symmetri var en mycket bra idé. Jag tror du har rätt.

Jag håller med Laguna, riktigt snyggt!

Jag fick krångligare räkningar och använde symmetrin först i sista steget:

$\displaystyle \iint_D(12-x-y)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{u=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2\sqrt{2}}12\frac{r}{\sqrt{2}}\,\mathrm{d}r\mathrm{d}u=48\sqrt{2}\pi$

Mycket tjusigt! Det flög mig rakt förbi, och även när du sa det fick jag tänka till ordentligt, men jag köper det. Varje punkt i definitionsmängden (utom origo, som ändå bidrar med noll) har en motsatt punkt med omvända tecken på både x och y. Så det den ena punkten bidrar till summan, drar den andra bort. Elegant!