Dubbelintegral tentauppgift

Du har ritat en bra figur! Ta ett villkor i taget

x²+y²<= 1 => innanför och på randen av cirkeln med radien 1

0<=y-x<=1 => den del av cirkeln som dessutom ligger mellan de två linjerna du ritat

y>=0 => den del av cirkeln som dessutom ligger ovanför x-axeln

Kan du hitta gränser för r och theta då?

Matsmats skrev:

Du har ritat en bra figur! Ta ett villkor i taget

x²+y²<= 1 => innanför och på randen av cirkeln med radien 1

0<=y-x<=1 => den del av cirkeln som dessutom ligger mellan de två linjerna du ritat

y>=0 => den del av cirkeln som dessutom ligger ovanför x-axeln

Kan du hitta gränser för r och theta då?

r måste väl ligga mellan 0 och 1? Theta verkar det vara mellan pi/4 till 5pi/4 (integtalen blir 0)..

Rita en större bild så ser du det bättre

Trinity2 skrev:

Rita en större bild så ser du det bättre

Ser bättre vadå?

Hur området ser ut

Här verkar naytte lösa samma uppgift: 

https://www.pluggakuten.se/trad/valja-granser-for-flervariabel-integral-eller-tips-pa-battre-losningsstrategi/ 

Jag följde faktiskt den här tråden först men det tog för lång tid 😅

MrPotatohead skrev:

Här verkar naytte lösa samma uppgift: 

https://www.pluggakuten.se/trad/valja-granser-for-flervariabel-integral-eller-tips-pa-battre-losningsstrategi/ 

Tack! Jag kikar på den.

Jag fick 1/16 som svar ,men rätt svar är ju 1/48. Finns det något område som ska vara med i beräkningen och isåfall vilket område är det som ska inkluderas? 

Du har ju bara beräknat det ena området där. Nu finns det ju fortfarande en triangel kvar i andra kvadranten.

naytte skrev:

Du har ju bara beräknat det ena området där. Nu finns det ju fortfarande en triangel kvar i andra kvadranten.

Ja precis jag ser det. Men hur bestämmer man gränserna för den triangel? 

$x$ löper mellan $-1$ och $0$ och då löper $y$ mellan $0$ och $x+1$, dvs. den andra integralen i min tråd.

Jag vet inte om det hjälper men jag brukar tänka på nästlade integraler enligt exemplet nedan:

$\displaystyle \int_{x=-1}^{x=0}\left(\int_{y=0}^{y=x+1}xydy\right)dx$

Detta säger oss att vi börjar i änden $x=-1$. Vi gör ett infinitesimalt inkrement till höger i $x$-led, och sveper då en infinitesimal bredd $dx$. Sedan integrerar vi uppåt i $y$-led enligt det $x$ vi har valt, och sveper en infinitesimal höjd $dy$. $xydxdy$ ger då ett infinitesimalt volymelement. Vi fortsätter ut till nästa $x$, och sedan upp i $y$-led igen... tills vi har rört oss hela intervallet $[-1,0]$ i $x$-led.

Detta förklarar dessutom varför integralen med $y$ måste stå på insidan; vi måste först välja vårt $x$ för att veta hur långt upp i $y$-led vi ska integrera!

Tillägg: 11 maj 2025 13:49

Detta är såklart inget "perfekt" sätt att tänka på eftersom differentialerna inte är ihopmultiplicerade egentligen men det funkar rätt bra och har fungerat OK hittills. Jag tycker det ger en bra intuition.

naytte skrev:

Jag vet inte om det hjälper men jag brukar tänka på nästlade integraler enligt exemplet nedan:

$\displaystyle \int_{x=-1}^{x=0}\left(\int_{y=0}^{y=x+1}xydy\right)dx$

Detta säger oss att vi börjar i änden $x=-1$. Vi gör ett infinitesimalt inkrement till höger i $x$-led, och sveper då en infinitesimal bredd $dx$. Sedan integrerar vi uppåt i $y$-led enligt det $x$ vi har valt, och sveper en infinitesimal höjd $dy$. $xydxdy$ ger då ett infinitesimalt volymelement. Vi fortsätter ut till nästa $x$, och sedan upp i $y$-led igen... tills vi har rört oss hela intervallet $[-1,0]$ i $x$-led.

Detta förklarar dessutom varför integralen med $y$ måste stå på insidan; vi måste först välja vårt $x$ för att veta hur långt upp i $y$-led vi ska integrera!

---

Tillägg: 11 maj 2025 13:49

Detta är såklart inget "perfekt" sätt att tänka på eftersom differentialerna inte är ihopmultiplicerade egentligen men det funkar rätt bra och har fungerat OK hittills. Jag tycker det ger en bra intuition.

Jag integrerade från x dvs från 0till hypotenusan som ges av y=1-x. Tyvärr får jag 5/48 som inte stämmer. Här är mina försök

Jag vet inte varför svaret blir rätt om jag börjar från  linjen y-1  till y-axeln där x=0  än tvärtom. 

Du integrerar i motsatt ordning än vad jag föreslår. Du gör först ett inkrement i $y$ och sedan ett inkrement i $x$ istället för tvärtom. Om $y$ löper från $[0,1]$ löper $x$ (för varje $y$!) från $[y-1, 0]$, vilket är precis det du har skrivit!

Kom dock ihåg att ta med differentialerna! De ger en bättre geometrisk intuition av vad som händer och de är viktiga vid variabelbyten. Ordnigen på differentialerna spelar roll.

Om man vill kan man integrera i x-led "innerst", det viktiga är att ytan täcks in och att man integrerar den beroende variabeln först. Här är ett bakvänt exempel på triangeln:

$\displaystyle \int_{y=0}^1\int_{x=y-1}^0 xy\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Tillägg: 11 maj 2025 16:27

Det var kanske det ni precis skrev :) Sorry

Viktigt att påpeka är att Daniels skrivsätt är vanligt men notationsmissbruk. Det finns inget "$dx\cdot dy$" i en nästlad integral egentligen; differentialerna tillhör separata integraler. Det är viktigt att ha det i åtanke eftersom man annars kan få för sig otillåtna saker som att byta integreringsordning helt hejkon bacon.

Detta orskade faktiskt extrem förvirring för mig när jag först befattade mig med dubbelintegraler. Objektet:

$\displaystyle I=\iint_Q z dydx=\iint_Q z dxdy$

är en dubbelintegral, och här spelar ordningen ingen roll, $dydx=dxdy$. Viktigt att förstå är dock att vi kan beräkna dubbelintegralen med nästlade integraler, och nu finns det inte längre något objekt "$dxdy$" eller "$dA$" som det ofta förkortas som.

Nu glömde jag att skriva differentialerna så det ska stå då dx först och sen dy. Ber om ursäkt!

Notationsmissbruk är lite att ta i :) Men ett klassisk exempel är

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\mathrm{d}y \mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}$

Om vi byter ordning får vi

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\mathrm{d}x \mathrm{d}y=-\frac{\pi}{4}$

Det är viktigt att komma ihåg att $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ egentligen är notation och inte betyder att vi ska multiplicera något. Hur vi betraktar integralen beror på vilket integralbegrepp vi använder.

Det är ju givetvis inte så farligt missbruk av notation (eller vad man nu ska kalla det) men det är bra att känna till. Fördelen med det skrivsättet är ju dock att man får en mycket bättre intution för vad som händer om differentialerna "sitter ihop". Man kan tänka att de utgör en "basyta" och att $z$ sedan utgör en höjd. Då får man ett volymelement $dV$.

Det blir alltså direkt analogt till den bekväma tolkningen av vanliga (Darboux/Riemann)integraler.

Går det verkligen att säga att "$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$" endast är notation? Om så vore fallet skulle dessa objekt inte spela någon roll i variabelbyten men de är helt väsentliga.

D4NIEL skrev:

Notationsmissbruk är lite att ta i :) Men ett klassisk exempel är

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\mathrm{d}y \mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}$

Om vi byter ordning får vi

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\mathrm{d}x \mathrm{d}y=-\frac{\pi}{4}$

Det är viktigt att komma ihåg att $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ egentligen är notation och inte betyder att vi ska multiplicera något. Hur vi betraktar integralen beror på vilket integralbegrepp vi använder.

Det här var nytt för mig. Kan du utveckla? Har aldrig sett detta förut, men så har jag inte heller läst allt.

En enkel integraldefinition är att en begränsad funktion $f(x,y)$ är integrerbar över en axelparallell rektangel $r$ om och endast om det till varje $\varepsilon$ finns trappfunktioner $s_1$ och $s_2$ sådana att $s_1\leq f \leq s_2$ och

$\displaystyle \iint _r s_2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y -\iint _r s_1 \mathrm{d}x \mathrm{d}y < \varepsilon$

I det den här definitionen är $\mathrm{d}x \mathrm{d}y$ i det närmaste ren kosmetika. Det viktiga är att man  bestämt sig för hur man ska beräkna integralerna av sina trappfunktioner, nämligen genom att multiplicera funktionsvärdet $f_i$ med den rektangulära arean $(x_i-x_{i-1})(y_i - y_{i-1})$ och summera alla rektanglar.

Senare kan man visa att om $f$ är integrerbar över ett område så får man byta integrationsordning så snart enkelintegralerna existerar. Då får också notationen mer substans.

Nu vet jag inte vilken integraldefinition ni använder i er kurs, men de flesta definitioner utgår alltså inte från itererade enkelintegraler över "godtyckliga" områden, utan ställer höga krav på såväl funktioner som område.

Vi har kört på en liknande definition och jag menar inte heller att man definierar dubbelintegralen i termer av itererade enkelintegraler.

I definitionerna jag har sett har man definierat:

$\mathrm{d}x\mathrm{d}y:=|\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y|$

Då följer det att ordningen av differentialerna i objektet dubbelintegralen är helt irrelevant eftersom vi då har $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \mathrm{d}y\mathrm{d}x$. Men ofta söker vi ju sätt att faktiskt beräkna dubbelintegralen, och då behöver vi ta till med t.ex. nästlade enkelintegraler.

Jag ville bara säga att det är viktigt att skilja på dubbelintegralen (där ordningen på differentialerna inte spelar roll) och nästlade enkelintegraler (där ordningen blir jätteviktig). Så sett gränsar det till missbruk av notation att inte sätta paranteser på nästlade integraler. Eller kanske rättare sagt, det är viktigt att man är försiktig och vet vad man gör.

naytte skrev:

Jag ville bara säga att det är viktigt att skilja på dubbelintegralen (där ordningen på differentialerna inte spelar roll) och nästlade enkelintegraler (där ordningen blir jätteviktig). Det gränsar till missbruk av notation att inte sätta paranteser på nästlade integraler.

Jag älskar att byta ordningen på nästlade integraler utan att kontrollera att det är ok. Det kan vara riktigt användbart (om man leker runt lite snarare än att faktiskt försöka beräkna något viktigt)

Exempelvis kan man skriva om

$\displaystyle \int\limits_0^\infty{\frac{\log(x^2+1)}{x^4+1}\mathrm dx}$

som en nästlad integral: 

$\displaystyle \int\limits_0^\infty\int\limits_0^1{\frac{x^2}{(x^4+1)(yx^2+1)}\mathrm dydx}$

Efter att man byter ordningen och en partiell bråkuppdelning blir alla delar "lätta" (rutina integraler) att integrera, först map $x$ och sedan map $y$.

I just det fallet spelar det ju inte heller någon roll eftersom integralerna har oberoende gränser. Men man måste hålla tungan rätt i mun! :)

naytte skrev:

I just det fallet spelar det ju inte heller någon roll eftersom integralerna har oberoende gränser. Men man måste hålla tungan rätt i mun! :)

"Oberoende gränser", menar du att gränserna är konstanter och inte en variabel? Det finns definitivt exempel där man inte får byta ordning där heller:

$\displaystyle \int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{x-y}{(x+y)^3}\mathrm dx \mathrm dy = -\frac 12$

$\displaystyle \int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{x-y}{(x+y)^3}\mathrm dy \mathrm dx = \frac 12$

Så sant!

Slarvigt (fel) uttryckt. Jag tänkte på Fubinis sats, och hade ett särskilt exempel i åtanke (som inte fungerar i allmänhet).

naytte skrev:

Så sant!

Slarvigt (fel) uttryckt. Jag tänkte på Fubinis sats, och hade ett särskilt exempel i åtanke (som inte fungerar i allmänhet).

Ah.

Mitt specialintresse i matematik de senaste månaderna har varit att beräkna integraler och då har jag lärt mig själv en del knep för det (höjdpunkten var nog när jag snubblade på ett bevis till baselproblemet. Självklart var det en variant på ett känt bevis, men jag tyckte det var kul att jag kunde hitta det på egen hand!). Tyvärr har jag inte kollat upp typ när man får göra vissa saker. Jag känner till namnen på satserna som beskriver sådant, som Fubinis sats eller om likformig kovergens.

Däremot har jag inte lärt mig vad de faktiskt säger än! Jag har en bok som kanske går igenom det, som jag ska fortsätta läsa så fort jag tar studenten och får sommarlov.. 

naytte skrev:

Vi har kört på en liknande definition och jag menar inte heller att man definierar dubbelintegralen i termer av itererade enkelintegraler.

I definitionerna jag har sett har man definierat:

$\mathrm{d}x\mathrm{d}y:=|\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y|$

Då följer det att ordningen av differentialerna i objektet dubbelintegralen är helt irrelevant eftersom vi då har $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \mathrm{d}y\mathrm{d}x$. Men ofta söker vi ju sätt att faktiskt beräkna dubbelintegralen, och då behöver vi ta till med t.ex. nästlade enkelintegraler..

Jag håller med om att en dubbelintegral inte är samma sak som två nästlade enkelintegraler (även om det ofta ger oss ett enkelt sätt att beräkna integralens värde). Däremot håller jag inte med om att $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ alltid betyder att vi tänker oss nästlade integraler, ibland är det bara en notation som berättar att vi tänker oss en dubbelintegral.

Har lite tid över så tänkte också kommentera produkten $dx^1\wedge dx^2$ och göra en tillämpning på triangeldelen av uppgiften.

Låt oss definiera en differentialform

$\omega =F_jdx^j=0\cdot dx + x^2y\cdot dy=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Vi har alltså fältet $\mathbf{F}=(F_x, F_y)=(0,x^2y)$

Vi deriverar en gång och får

$d\omega=\frac{\partial F_j}{dx^h}dx^h\wedge dx^j=(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})dx\wedge dy$

Enligt Stokes ($\int_G d\omega = \int_{\partial G} \omega$) gäller

$\displaystyle \int_G(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})dx\wedge dy=\oint_{\partial G} \omega=\oint_{\partial G}(F_xdx+F_ydy)$

Där vi känner igen sista ledet som en linjeintegral runt området. Eftersom x=0 på y-axeln och y=0 på x-axeln behöver vi bara integrera utmed den del av $\partial G$ som utgör hypotenusan. Vi parametriserar med

$\mathbf{r}(t)=(-t,1-t)$ där $0<t<1$, 

därmed har vi hittat ett alternativt sätt att beräkna triangeldelen av integralen:

$\displaystyle_G \int  xy\,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y=\frac12\int_0^t (t^3-t^2)\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{24}$

Notera hur $dx\wedge dy$ automatiskt höll ordning på tecknet åt oss. Det kan alltså finnas en poäng i att respektera parametrarnas uppräkningsordning. Hade vi istället räknat med $dy\wedge dx$ hade vi fått teckenfel.