Dum fråga om integralers användning

Hej

Betrakta en behållare med area A och höjden H som fylls med en vätska vars densitet går som $\rho(x) = ax^2$ eller ekvivalent $x(\rho)=\sqrt{\frac{rho}{a}}$. Härifrån skulle alla med lite erfarenhet säga att $dm = \rho dV = \rho Adx$ vilket kan integreras från 0 till H. Det exakta svaret här är inte intressant förutom följande.

Om man istället betraktar $dm = V(\rho) d\rho = Ax(\rho)d\rho$ vilket kan integreras från 0 till $\rho_{max} = aH^2$, så får man något annat.

Generellt för inverterbara funktioner $\int_a^by(x)dx$ är arean mellan kurvan och x-axeln, medan $\int_{y(a)}^{y(b)}xdy$ är arean mellan kurvan och y-axeln. Tillsammans utgör de en rektangel mellan punkterna (a,y(a)) och (b,y(b)).

Självklart kommer integralerna inte att ge samma sak i det generella fallet för $xdy$ och $ydx$, men min fråga är varför inte $dm = Vd\rho$ funkar. Jag samlar allt med samma densitet och beräknar massan de bidrar med och sen summerar jag för varje värde på $\rho$. Jag fattar verkligen inte varför den modelleringen blir fel.

Jag har valt massa, volym och densitet som ett exempel, men problemet kan generaliseras till vad som helst. Ekvivalent(??) kanske följande fråga kan ställas:

För ett fysikaliskt förhållande $\alpha = \beta \gamma$, hur vet man om $d\alpha = \beta d\gamma$ eller $d\alpha = \gamma d\beta$? Den allmänna differentialen $d\alpha = \beta d\gamma + \gamma d\beta$ skulle ju bara ge hela rektangelns area, alltså bara beroende på start och slutpunkt, vilket blir självklart fel i exemplet ovan.