Nichrome 1704
Postad: 15 jan 12:08

e^x

Bevisa att för varje tal n1gäller 

ex 1 +x +x²2!+x³3!+...+xnn!

 

för alla reella tal x0

skulle implikationen se ut så här: 

för varje tal n1är ex 1 +x +x²2!+x³3!+...+xnn! ---> x0

 

1) n =1, ex1och detta stämmer eftersom om x = 0 vi får 1=1 e =2.71... så t.ex e¹ > 1

2) Antag att ex 1 +x +x²2!+x³3!+...+xnn!  gäller för något n1  

Vi vill visa att ex 1 +x +x²2!+x³3!+...+xn+1(n+1)!

kan man skriva om sista termen så här x(xn)n!+1! eller bryta ut xnn!

Svårt tal. Det finns en lösning som bygger på integration.

Smaragdalena 65829 – Lärare
Postad: 15 jan 16:07 Redigerad: 15 jan 16:08

Nej, det behövs inte. Skriv om induktionsantagandet till ex1+x+k(n)e^x\ge1+x+k(n) så skall du visa att ex1+x+k(n)+e^x\ge1+x+k(n)+ xn+1(n+1)!\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}. Byt ut de tre första temerna i HL mot det som är lika mycket eller lika med enligt induktionsantagandet, d v s ex. Kommer du vidare därifrån?

Laguna Online 19651
Postad: 16 jan 15:41

Jag ser inte hur Smaragdalenas metod fungerar.

Får man derivera?

Smutsmunnen 720
Postad: 16 jan 15:46 Redigerad: 16 jan 15:47
Laguna skrev:

Jag ser inte hur Smaragdalenas metod fungerar.

Får man derivera?

Jag tänker som du.

Nyckeln är att definiera 

fn(x)=ex-1-x-...-xnn!

Då ska vi visa att för alla n så är fn(x)positiv för positiva x för alla n.

Men derivatan av funktion n+1 är funktion n, så induktionsantagandet (för n) medför att funktionen för n+1 är växande. Tillsammans med fn(0)=0för alla n följer beviset.

Dracaena 4714 – Moderator
Postad: 16 jan 18:21

Om jag inte tänker helt fel borde uppgiften vara trivial om man utnyttjar Taylor's Theorem. 

Nichrome 1704
Postad: 17 jan 17:55
Laguna skrev:

Jag ser inte hur Smaragdalenas metod fungerar.

Får man derivera?

ja, man får använda verktyg från ma3c

Svara Avbryt
Close