7 svar
179 visningar
eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 7 okt 2020 19:28

Egenvärde

Visa att om λär ett egenvärde till en inverterbar matris A, så är λ-1ett egen värde till A-1.

Vet inte alls hur jag ska tänka på ovanstående uppgift. Vet att (A-Eλ)x=0 och (A-1-Eλ2)x=0 men kan jag använda det på något sätt för att bevisa? 

Dr. G Online 9487
Postad: 7 okt 2020 20:24

Du kan operera A på en egenvektor

Av=λvAv = \lambda v

Vad får du om A^(-1)A opererar på samma egenvektor till A?

A-1Av=...A^{-1}Av=...

eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 7 okt 2020 20:41

Då borde  A-1Av = Ev=v 

och eftersom Av=λv så är A-1Av=A-1λv 

och då måste A-1λv = v A-1λ=1 och då har A-1 egenvärdet 1λ=λ-1

Kan visa det så?

Moffen 1875
Postad: 7 okt 2020 21:47 Redigerad: 7 okt 2020 21:48
eliaw2 skrev:

Då borde  A-1Av = Ev=v 

och eftersom Av=λv så är A-1Av=A-1λv 

och då måste A-1λv = v A-1λ=1 och då har A-1 egenvärdet 1λ=λ-1

Kan visa det så?

I din näst sista rad tycker jag du gör något konstigt och onödigt. Du skriver A-1λv=vA-1λ=1A^{-1}\lambda v=v \iff A^{-1}\lambda = 1, men A-1A^{-1} är en matris, λ\lambda en skalär... vad innebär då likheten A-1λ=1A^{-1}\lambda =1?

Istället kan du bara multiplicera med λ-1\lambda^{-1} och få λ-1A-1λv=A-1v=λ-1v\lambda^{-1} A^{-1}\lambda v = A^{-1}v = \lambda^{-1} v

Fråga: Hur vet vi att λ0\lambda \neq 0?

eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 7 okt 2020 22:27

Hur blir λ-1A-1λν=A-1v?

Dr. G Online 9487
Postad: 8 okt 2020 08:07
eliaw2 skrev:

Hur blir λ-1A-1λν=A-1v?

Multiplikation me skalär blir samma sak från höger och från vänster,

aB=BaaB = Ba

Du kan samla alla skalärer längst till vänster och förenkla. 

Aerius 504 – Fd. Medlem
Postad: 8 okt 2020 11:51

Tycker du kan städa upp ditt svar lite. Första raden bidrar inte med något. Börja svaret med det du vet samt bidrar till resultatet. Näst sista raden är också onödig, som Moffen påpekar.

eliaw2 66 – Fd. Medlem
Postad: 8 okt 2020 20:19

Av=λvA-1Av =A-1λv v=A-1λv λ-1v=λ-1A-1λvλ-1v=λλ-1A-1v =A-1v 

V.S.B

Svara
Close