Ekvationen för fältlinjerna och genom punkten

Jag bara höftar nu, men är inte en fältlinje i princip bara en "tangentkurva" till vektorfältet?

Finns det ingen definition i boken?

naytte skrev:

Jag bara höftar nu, men är inte en fältlinje i princip bara en "tangentkurva" till vektorfältet?

Finns det ingen definition i boken?

Ja jag tror det. Så sa ungefär chat också!  Jo det gör det. Ska kolla upp det!

Här är någon defintion ur ramgard boken

Formellt är en fältlinje kurvan $\Gamma : R \to R^3$ som lösningen till differentialekvationen

$\Gamma (s) = \mathbf A (\Gamma(s))$

där $s$ är en parameter som parametriserar kurvan men parametriseringen är inte unik, bara kurvans form.

Om $\Gamma(s)$ skrivs i kartesisk form $\Gamma(s) = (X(s), Y(s), Z(s))$ dvs att $X,Y,Z$ är funktioner som beskriver kurvans koordinater ja då kan differentialekvationen i vårt specialfall med angivet A skrivas

$X' = 2XZ, \quad  Y' = 2YZ, \quad  Z' = -(X^2 + Y^2)$

Att lösa ekvationen direkt går bra om man vill implementera en datoralgoritm som skissar fältlinjerna och går att göra för hand om man är tålmodig (men är värt att leta efter trick)

Vid förhands-lösning så är det dock att använda andra metoder -- ofta rotade i symmetrier.

Detta är en tricklösning men efter att ha stirrat på funktionen i 3 minuter insåg jag projicerat på x,y-planet så är fältet strikt radiellt då Ax är oberoende av y och Ay är oberoende av x, så om en fältlinje går genom en punkt P så kommer fältlinjen att stanna i planet som spänns upp av OP och z-vektorn. 

Detta kan man använda för att reducera problemet till 2D och då är det bara en första ordningens ekvation som kan lösas för hand. Jag tycker själv att detta är en ganska finurlig lösning så det finns säkert en mera normal algoritmisk metod också, men i ärlighetens namn minns jag inte några allmänna fältlinjemetoder från Ramgard.

Effektivt så är fältet lämpligt att beskriva med cylindriska koordinater.

s19-20 i Ramgard kör på differentialekvationsmetoden men med det extra steget att normera alla komponenterna och sätta dem lika

SeriousCephalopod skrev:

s19-20 i Ramgard kör på differentialekvationsmetoden men med det extra steget att normera alla komponenterna och sätta dem lika

Aa jag såg den sidan.  Men hur applicerar vi detta på vårt problem? 

Tag exempelvis bara

med våra Ax och Ay och vi får:

$(dx / du)/2xz = (dy/dx) / 2yz$

Denna kan vi lösa med standardmetoder men alla har lite egna stilar. Som en god fysiker flyttar jag runt lite med balansmetoden och gör differentialmagi för att få

$dx/x = dy/y$

Ekvationen ovan betyder i praktiken att x och y är proportionella y = kx men det kan visas på lite olika sätt. Exemeplvis genom att ta

$d(\ln x) = d(\ln y)$

$\ln y = \ln x + C$

$e^{\ln y} = e^{\ln x + C}$

$y = e^C x$, eller bara

$y = kx$ där $k$ är något tal som faller ut från begynnelsevillkor eller X-komponenten.

(Denna ekvation är ekvivalent med mitt påstående att lösningen stannar i ett 2D-plan från förra inlägget)

Sedan kan vi göra samma sak med 

men använda att vi nu vet sambandet mellan x och y på fältlinjen.

När vi fått fram sambandet mellan z och y (eller z och x) så har vi effektivt kurvans ekvation(er).