18 svar

160 visningar

ConnyN är nöjd med hjälpen

Ekvationslösning

Har fastnat i trigonometrisk ekvationslösning. Till och med medelsvåra uppgifter ställer till stora problem för mig. Nu har jag tittat på en hel del videor från Börje Sundvall och några engelska varianter och har fått många tips. Inom parentes sagt så har jag sett lite av indiska föreläsare också. De verkar att gå mycket djupare än oss européer i all matematik jag sett från dem, men jag vet ju inte på vilken nivå det är som de vänder sig till?

Nu till frågan: Ett exempel som jag försökt angripa i flera dagar nu på olika sätt.

$\sin (x) = \sin (\frac{x}{2})$ facit: $x = n \cdot 360 e l l e r x = \pm 120^{°} + n \cdot 720^{°}$

mitt försök: (Obs! att jag skriver de två alternativlösningarna bredvid varandra)

$x = \frac{x}{2} + n \cdot 360^{°}$ eller $x = 180^{°} - \frac{x}{2} + n \cdot 360^{°}$

$x - \frac{x}{2} = 0 + n \cdot 360^{°}$ $x + \frac{x}{2} = 180^{°} + n \cdot 360^{°}$

$\frac{x}{2} = n \cdot 360^{°}$ $3 x = 360^{°} + n \cdot 720^{°}$

$x = n \cdot 720^{°}$ $x = 120^{°} + n \cdot 240^{°}$

De här två svaren skiljer sig avsevärt från facits svar som jag beskrev ovan.
Nu på morgonen kom jag på att lägga in graferna på grafräknaren och då ser jag att vi får samma skärningspunkter på de två sinuskurvorna, men facits svar kommer jag inte på hur de får. Jag kan ana att de har omvandlat till en cos-term eftersom de har $\pm$ i svaret på den ena lösningen, men hur?

Vinkeln x är ju dubbelt så stor som vinkeln x/2. Vänsterledet kan du alltså utveckla med dubbla-vinkeln-formeln för sinus:

$2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = \sin(\frac{x}{2})$

Hur går du vidare därifrån?

När jag lägger in kurvorna y=sin(x) och y=sin(x/2) får jag samma skärningspunkter som facit (jag hade velat lägga in en länk till WolframAlpha, med kommer inte åt den sidan, och jag har inte kommit på hur man länkar till en beräkning på Desmos). Vad har du skrivit in för att få dina skärningspunkter?

I den här uppgiften skulle jag skriva om VL till $\sin(2\cdot\frac{x}{2})$ och använda formeln för dubbla vinkeln.

Smaragdalena skrev:
När jag lägger in kurvorna y=sin(x) och y=sin(x/2) får jag samma skärningspunkter som facit (jag hade velat lägga in en länk till WolframAlpha, med kommer inte åt den sidan, och jag har inte kommit på hur man länkar till en beräkning på Desmos). Vad har du skrivit in för att få dina skärningspunkter?

Connys och facits lösningar är alltså samma, de har bara olika framställning pga att de tagit olika vägar. Men sätter man in lite olika n-värden ser man att de listar upp exakt samma vinklar.

Ah, snyggt, Skaft! Det såg jag inte.

Bara så vi alla är överens, Connys svar och facits svar är identiska.

Edit: ok, det verkar som ni redan var överens eller kom överens under tiden jag satt i telefon :)

Skaft:
Vinkeln x är ju dubbelt så stor som vinkeln x/2. Vänsterledet kan du alltså utveckla med dubbla-vinkeln-formeln för sinus:

OK Det var lite knepigt att komma på, men som vanligt lätt när man kan det. Tack för den!

Vi går alltså först bakvägen in $\sin (2 \frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ / Vi använder att $\sin (2 v) = 2 \sin (v) \cos (v)$

$2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ /Vi flyttar termen sin(x/2) till V.L. med målet att två faktorer = 0

$2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}) = 0$ / Vi kan bryta ut $\sin (\frac{x}{2})$

$\sin (\frac{x}{2}) \cdot (2 \cos (\frac{x}{2}) - 1) = 0$ / Vi börjar med cos-termen

$2 \cos (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2 \cos (\frac{x}{2}) = 1 \Leftrightarrow \cos (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \pm 60^{°} + n \cdot 360^{°}$

och slutligen $x = \pm 120^{°} + n \cdot 720^{°}$

Sinustermen får jag inte till $x = n \cdot 360^{°}$ fast det ser så lätt ut?

För vilka två vinklar är sin(v) = 0?

Smaragdalena skrev:
För vilka två vinklar är sin(v) = 0?

Vi har $(\frac{x}{2}) = 0^{°} + n \cdot 360^{°} e l l e r (\frac{x}{2}) = 180^{°} - 0^{°} + n \cdot 360^{°}$

Jag ser tydligt att om x = 0 så blir det som facit skriver, men gör vi på "rätt sätt" så får vi $x = n \cdot 720^{°}$

Då kanske vi kan anta att det stämmer vid 360 grader också, men är det en mer invecklad lösning så kanske det inte skulle vara sant? Så vad jag är ute efter är en matematisk lösning och inte lösningar "att det ser man" eller "det kan vi anta"

Missförstå mig inte nu. Det är inte min mening att vara ohövlig utan jag behöver verkligen hjälp i mitt tänk.

ConnyN skrev:
Vi har $(\frac{x}{2}) = 0^{°} + n \cdot 360^{°} e l l e r (\frac{x}{2}) = 180^{°} - 0^{°} + n \cdot 360^{°}$

Specialfallen då ett sinus- eller cosinusvärde är 0 eller 1 behöver inte delas upp i två lösningsmängder. Istället kan man halvera perioden. Vinklarna du beskriver där är ..., -360, -180, 0, 180, 360, 540... Notera att det är 180 grader mellan varje. Eftersom "steglängden" är konstant kan du beskriva alla dessa vinklar med ett enda uttryck: $n\cdot 180$ .

Så från $\sin(\frac{x}{2}) = 0$ kan du dra slutsatsen att

$\frac{x}{2} = n\cdot 180$

Om $\frac{x}{2}=n\cdot 360^{\circ}$ så är $x=n\cdot720^{\circ}$

För $n=0,1,2,3$ får vi $x=0^{\circ},720^{\circ},1440^{\circ},2160^{\circ}$

Om $\frac{x}{2}=180 + m\cdot360^{\circ}$ så är $x=360+m\cdot 720^{\circ}$

För $m=0,1,2,3$ får vi $x=360^{\circ}, 1080^{\circ}, 1800^{\circ},2520^{\circ}$

Lägger vi ihop lösningarna i ordning får vi alltså:

$x=0^{\circ},360^{\circ}, 720^{\circ}, 1080^{\circ}, 1440^{\circ}, 1800^{\circ}, 2160^{\circ}, 2520\dots$

$x=p\cdot360^{\circ}\,p\in \mathbb{Z}$

Skaft skrev:
ConnyN skrev:
Vi har $(\frac{x}{2}) = 0^{°} + n \cdot 360^{°} e l l e r (\frac{x}{2}) = 180^{°} - 0^{°} + n \cdot 360^{°}$
Specialfallen då ett sinus- eller cosinusvärde är 0 eller 1 behöver inte delas upp i två lösningsmängder. Istället kan man halvera perioden. Vinklarna du beskriver där är ..., -360, -180, 0, 180, 360, 540... Notera att det är 180 grader mellan varje. Eftersom "steglängden" är konstant kan du beskriva alla dessa vinklar med ett enda uttryck: $n\cdot 180$ .
Så från $\sin(\frac{x}{2}) = 0$ kan du dra slutsatsen att
$\frac{x}{2} = n\cdot 180$

Aha, nu börjar poletten sakta att ramla ned.

Eftersom sin(x)=0 innebär det att $x = n \cdot 180^{°}$ eftersom vi börjar på noll så kommer varje steg upp att generera en träff.

Det innebär (Vilket jag ser först nu. Ibland känner man sig trög!) att när $\sin (\frac{x}{2}) = 0$ så är $\frac{x}{2} = n \cdot 180^{°} o c h x = n \cdot 360^{°}$

Kanon! Tack så hemskt mycket Skaft!

Skaft skrev:
...
Specialfallen då ett sinus- eller cosinusvärde är 0 eller 1 behöver inte delas upp i två lösningsmängder. Istället kan man halvera perioden. ...

Nja, 1 (och -1) blir funktionen bara en gång per varv.

Jroth skrev:
Om $\frac{x}{2}=n\cdot 360^{\circ}$ så är $x=n\cdot720^{\circ}$
För $n=0,1,2,3$ får vi $x=0^{\circ},720^{\circ},1440^{\circ},2160^{\circ}$
Om $\frac{x}{2}=180 + m\cdot360^{\circ}$ så är $x=360+m\cdot 720^{\circ}$
För $m=0,1,2,3$ får vi $x=360^{\circ}, 1080^{\circ}, 1800^{\circ},2520^{\circ}$
Lägger vi ihop lösningarna i ordning får vi alltså:
$x=0^{\circ},360^{\circ}, 720^{\circ}, 1080^{\circ}, 1440^{\circ}, 1800^{\circ}, 2160^{\circ}, 2520\dots$
$x=p\cdot360^{\circ}\,p\in \mathbb{Z}$

Ja! Tack för den tydliga beskrivningen!

Smaragdalena skrev:
Skaft skrev:
...
Specialfallen då ett sinus- eller cosinusvärde är 0 eller 1 behöver inte delas upp i två lösningsmängder. Istället kan man halvera perioden. ...
Nja, 1 (och -1) blir funktionen bara en gång per varv.

Det är ju sant, nåt periodhalverande blir det inte tal om i de fallen. Men det behövs iallafall inte två lösningsmängder =)

Smaragdalena skrev:
Skaft skrev:
...
Specialfallen då ett sinus- eller cosinusvärde är 0 eller 1 behöver inte delas upp i två lösningsmängder. Istället kan man halvera perioden. ...
Nja, 1 (och -1) blir funktionen bara en gång per varv.

Jag förstod ändå. Skaft menade säkert när sin(x)=0 eller när cos(x)=0

Smaragdalena skrev:
För vilka två vinklar är sin(v) = 0?

Såg just att jag använde ditt tips i en annan uppgift.

I den här hade vi $\sin (\frac{x}{2}) = 0$ Hade jag förstått dig hade jag ersatt $(\frac{x}{2}) m e d (v)$

och fått $v = 0 + n \cdot 180^{°}$ sedan ersatt $v m e d (\frac{x}{2})$ och fått $(\frac{x}{2}) = n \cdot 180^{°}$

slutligen $x = n \cdot 360^{°}$

I en uppgift nu hamnade jag i läget att vi hade $\sin 2 x = 0$

med samma sätt att tänka så fick jag raskt fram att $x = n \cdot 90^{°}$

Så jag får beklaga att jag totalt missade det plus ditt tidigare förslag i samma tråd.

Får väl kompensera med att önska dig en

Glad Påsk!

Jag skulle löst den via två fall:

1) $x=\frac{x}{2}+n\cdot 360^{\circ}$

2) $x=180^{\circ}-\frac{x}{2}+n\cdot 360^{\circ}$

Ytterligare en variant via cos:

$\cos (90^{\circ}-x)=\cos (90^{\circ}-\frac{x}{2})$

$90^{\circ}-x=\pm (90^{\circ}-\frac{x}{2})+n\cdot 360^{\circ}$

...

Svara Avbryt

Visa senaste svar