Ekvationslösning trigonometri

Uppgiften lyder: Lös ekvationen $\sin (x + 90 °) = \cos^{2} x$

De vill att jag ska lösa den med något eller några av alternativen, trigonometriska ettan, motsatta och komplement-vinklar, additions- och subtraktions-formler eller formler för dubbla vinkeln.

Mitt försök:

$\sin (x + 90^{°}) = \cos^{2} x$ Vi kan använda additionsformeln för sinus som lyder $\sin (u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v$

det ger $\sin x \cdot \cos 90^{°} + \cos x \cdot \sin 90^{°} = \cos^{2} x$

vilket ger $\cos x = \cos^{2} x$

Det kan skrivas $\cos x = \cos x \cdot \cos x$ och här börjar jag att komma ut på tunn is

$\cos x = \frac{\cos x}{\cos x} o c h \cos x = 1$ då vet jag att en lösning är $x = n \cdot 360$

Jag kan också se att $90^{°} + n \cdot 180^{°}$ är en möjlighet när jag tittar på $\cos x = \cos^{2} x$

Det känns lite svajigt mitt resonemang? Kan det finnas andra sätt att titta på det?

Du får inte dividera med uttryck som kan anta värdet noll, vilket $\cos x$ kan göra. Du riskerar även att dividera bort potentiella lösningar.

Jag föreslår att du skriver om ekvationen på formen $\cos x\cdot \cos x-\cos x=0$ och sedan bryter ut $\cos x$ ur VL. Då får du två olika fall baserat på nollproduktmetoden.

En alternativ metod är att du går tillbaka till steget $\cos x=\cos^2 x$ och gör substitutionen $t=\cos x$ . Då kan du skriva om ekvationen till en andragradsekvation som du kan fortsätta bearbeta med pq-formeln.

Kommer du vidare?

Teraeagle skrev:
Du får inte dividera med uttryck som kan anta värdet noll, vilket $\cos x$ kan göra. Du riskerar även att dividera bort potentiella lösningar.
Jag föreslår att du skriver om ekvationen på formen $\cos x\cdot \cos x-\cos x=0$ och sedan bryter ut $\cos x$ ur VL. Då får du två olika fall baserat på nollproduktmetoden.
En alternativ metod är att du går tillbaka till steget $\cos x=\cos^2 x$ och gör substitutionen $t=\cos x$ . Då kan du skriva om ekvationen till en andragradsekvation som du kan fortsätta bearbeta med pq-formeln.
Kommer du vidare?

Ja tack så mycket.

Då kan vi skriva från $\cos x = \cos x \cdot \cos x$ att

$\cos x \cdot \cos x - \cos x = 0$

och $\cos x (\cos x - 1) = 0$

Då får vi som du skriver två alternativ $x = 90^{°} + n \cdot 180^{°}$ eller $x = 0^{°} + n \cdot 360^{°} = n \cdot 360^{°}$

Den andra metoden:

Då börjar jag med $t = t^{2}$ och $t^{2} - t = 0$

PQ ger $t = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}$ och resultatet blir som i första fallet.

Mycket stort tack för de två alternativen!!!

Svara Avbryt