6 svar
171 visningar
noratgf 5
Postad: 19 maj 21:48

En annorlunda andragradsekvation

Jag hittade nyligen ett problem som jag själv tyckte var väldigt intressant och ökade min förståelse för andragradsekvationer som helhet. Därför har jag valt att posta det här för att se om ni kan lära er något av det. Jag känner till 2st olika lösningar där 1 av dem är den som ger mest lärdom. Försök hitta båda om du kan. Titlen är en hint till vad en av lösningarna kommer handla om.

Lös ekvationen 5-x=5-x2

Jag kommer lägga in spoilers senare då jag helst vill att folk verkligen försöker först då det är mycket lärorikt. 

Macilaci Online 531
Postad: 19 maj 22:14 Redigerad: 19 maj 22:15

Det löner sig alltid att skissa. Grejen är symmetrisk.

Dracaena 3313 – Moderator
Postad: 19 maj 23:28 Redigerad: 19 maj 23:31

5-x=5-x2x=±5-5-x\sqrt{5-x}= 5-x^2 \implies x=\pm \sqrt{5- \sqrt{5-x}}, Notera vad som händer om vi tar den positiva varianten och stoppar in x, vi får då ett rekursivt problem m.a.p 5\sqrt{5}, detta ger direkt att x=5-xx=\sqrt{5-x} som vi kan skriva om till x2+x-5x^2+x-5. Notera att om vi hade kvadrerat istället så hade vi kommit fram till x4-10x2+x+20=0x^4-10x^2+x+20=0, poldiv ger ny att (x2+x-5)(x2-x-4)=0(x^2+x-5)(x^2-x-4)=0 och lösningarna ges av (efter vi förkastat de falska rötterna) x1=-1+212,x2=1-172x_1=\dfrac{-1+ \sqrt{21}}{2}, x_2=\dfrac{1- \sqrt{17}}{2}.

Macilaci Online 531
Postad: 20 maj 12:13 Redigerad: 20 maj 12:14

Första roten kan man hitta alternativt med hjälp av symmetri:

5 - x2 = x

henrikus 310 – Live-hjälpare
Postad: 30 maj 12:54 Redigerad: 30 maj 13:01

Man kan också tänka så här. (Samma idé som Macilaci.)

Hitta skärningen mellan kurvorna:

y=5-x och y=5-x2 y2=5-x (1)y=5-x2 (2)(1)-(2)y2-y=x2-xy(y-1)=x(x-1)En lösning är uppenbarligen y=x x=5-xx2+x-5=0osv

Nyfiken på den utlovade spoilern ...

Notera att ekvationen 6-x=5-x2 är svårare men eftersom det blir en fjärdegradsekvation ska den vara möjlig att lösa exakt. Jag kommer dock inte ge mig på det ...

henrikus skrev:

Man kan också tänka så här. (Samma idé som Macilaci.)

Hitta skärningen mellan kurvorna:

y=5-x och y=5-x2 y2=5-x (1)y=5-x2 (2)(1)-(2)y2-y=x2-xy(y-1)=x(x-1)En lösning är uppenbarligen y=x x=5-xx2+x-5=0osv

Nyfiken på den utlovade spoilern ...

Notera att ekvationen 6-x=5-x2 är svårare men eftersom det blir en fjärdegradsekvation ska den vara möjlig att lösa exakt. Jag kommer dock inte ge mig på det ...

 När man hittat lösningen y=x är det lätt att faktorisera

 y2-y-x2+x=(y-x)(y+x-1)=0Den andra lösningen är y=1-x1-x=5-xx2-x-4=0osv

noratgf 5
Postad: 1 jun 16:37 Redigerad: 1 jun 16:38

Alla har gett mycket intressanta svar och jag tycker att alla har gett ganska intressanta synvinklar på det. Den första lösningen är lik Dracaena's lösning där man får 

x=5-5-x

Vi får därför 2st olika lösningar. 

x=5-x och x=-5-5+5-5-x

Den första löses på samma sätt som Dracaena förslog och det andra följer en formel för alternerande oändligt kapslade radikaler. 

 

a-a+a-a...=4a-3-12

då får man x=-20-3-12 x=1-172

 

Den andra lösningen är den jag själv tycker mest om dock. Denna innebär att man ska göra det som man oftast rekommenderas att inte göra i detta fallet. Att kvadrera båda sidorna.

Detta betyder att

5-x=52-2(5·x2)+x4     52+(-2x2-1)·5+x4+x=0

Nu har jag skrivit det lite konstigt kan man tycka men det är med meningen. Det vi nu har är en andragradsekvation inom 5 och inte inom x. Använder vi nu oss av pq formeln så kan vi enkelt lösa ut x

5=--2x2-12(-2x2-12)2-(x4+x)

Förkortning ger

5=x2+12x2-x+14  5=x2+12(x-12)2

 

Detta betyder sen att vi får två stycken andragradsekvationer

5=x2+x

5=x2-x+1

och sedan löses dessa på samma vis 

man kommer alltså här fram till 4 st lösningar men som tidigare nämnts finns bara 2 st.

Detta är för x endast är giltigt om

-5x5

Detta låser därför ut 2 av svaren och vi slutar på samma vis med samma lösningar.

Svara Avbryt
Close