En talföljd definieras rekursivt av Pn, undersök vad som händer med Pn för stora n.

Fick du något värde för $P_0$? Utan det är inte talföljden entydigt definierad.

Vad fick du för resultat på a-uppgiften? Ser du något mönster? Om inte, beräkna några värden till.

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då $n\to\infty$ oavsett om $P_0=1$ eller om $P_0=20$.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då $0\leq P_0\leq105$. I fallen $P_0=0$ och $P_0=105$ blir alla $P_n=0$ och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när $n\to\infty$ kommer $P_n$:s gränsvärde $k$ att vara $k=P_n=P_{n-1}$. Ur relationen

$P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})$

får man då ekvationen

$k=k(1,4-\dfrac{k}{75})$

Ur detta går det att lösa ut $P_n$:s gränsvärde $k$ ifall $0<><>$

Jag menade bara att P0 kanske var så valt i uppgiften att man såg en tendens redan efter tre, fyra iterationer. 

Laguna skrev:

Jag menade bara att P0 kanske var så valt i uppgiften att man såg en tendens redan efter tre, fyra iterationer. 

 Ja, det kanske är tänkt att man ska pröva sig fram och se gränsvärdet. Själv tycker jag att det är lite tramsig uppgift om man inte lär ut något annat sätt än att bara pricka ut en massa punkter och pröva sig fram. Särskilt eftersom teorin bakom det jag gjorde inte är så jättesvår att lära ut till en Matte 5-student.

Smaragdalena skrev:

Fick du något värde för $P_0$? Utan det är inte talföljden entydigt definierad.

Vad fick du för resultat på a-uppgiften? Ser du något mönster? Om inte, beräkna några värden till.

 Ja, jag måste ha glömt att skriva det. $P_{0 } = 10$ 

Och på a) uppgiften fick jag att

 $$\begin{gathered} P_1 = 12,66... \\ {P}_2 = 15,59... \\ {P}_3 = 18,58... \end{gathered}$$

Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln? 

Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln?

Så skulle jag göra.

AlvinB skrev:

Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då $n\to\infty$ oavsett om $P_0=1$ eller om $P_0=20$.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då $0\leq P_0\leq105$. I fallen $P_0=0$ och $P_0=105$ blir alla $P_n=0$ och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när $n\to\infty$ kommer $P_n$:s gränsvärde $k$ att vara $k=P_n=P_{n-1}$. Ur relationen

$P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})$

får man då ekvationen

$k=k(1,4-\dfrac{k}{75})$

Ur detta går det att lösa ut $P_n$:s gränsvärde $k$ ifall $0<><>$

k är alltså gränsvärdet, men varför likställer man $k = P_n = P_{n-1} ?$ Och hur kan de vara lika? 

Smaragdalena skrev:

Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln?

Så skulle jag göra.

 Okej, jag kan börja med att pricka in de fyra första jag har. Men hur vet jag hur många jag ska pricka in? 

detrr skrev:

Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln? 

 Just det. Du kommer se att värdena planar av mot ett värde för $P_n$.

detrr skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då $n\to\infty$ oavsett om $P_0=1$ eller om $P_0=20$.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då $0\leq P_0\leq105$. I fallen $P_0=0$ och $P_0=105$ blir alla $P_n=0$ och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när $n\to\infty$ kommer $P_n$:s gränsvärde $k$ att vara $k=P_n=P_{n-1}$. Ur relationen

$P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})$

får man då ekvationen

$k=k(1,4-\dfrac{k}{75})$

Ur detta går det att lösa ut $P_n$:s gränsvärde $k$ ifall $0<><>$

k är alltså gränsvärdet, men varför likställer man $k = P_n = P_{n-1} ?$ Och hur kan de vara lika? 

 Vi är under antagandet att gränsvärdet för $P_n$ då $n\to\infty$ existerar. Då kommer skillnaderna successivt bli mindre och mindre mellan varje $P_n$-värde. Alltså, när $n$ blir större och större kommer $P_n\approx P_{n-1}$. När man låter $n$ gå mot oändligheten får man en exakt likhet att $P_n=P_{n-1}$.

Eftersom det blir rörigt om $P_n$ både skall representera gränsvärdet när $n\to\infty$ och samtidigt ett tal godtyckligt tal i talföljden kallar vi gränsvärdet i oändligheten för $k$. Då får vi ekvationen

$k=k(1,4-\dfrac{k}{75})$

som har två lösningar varav en som är giltig då $P_0=10$. Du kommer även se att punkterna närmar sig detta $k$-värdena när du ritar ut dem vilket kan vara bra för att verifiera ditt resultat.

För de 20 första talen fick jag detta resultat när jag prickade in de i ett koordinatsystem: 

AlvinB skrev:

detrr skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då $n\to\infty$ oavsett om $P_0=1$ eller om $P_0=20$.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då $0\leq P_0\leq105$. I fallen $P_0=0$ och $P_0=105$ blir alla $P_n=0$ och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när $n\to\infty$ kommer $P_n$:s gränsvärde $k$ att vara $k=P_n=P_{n-1}$. Ur relationen

$P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})$

får man då ekvationen

$k=k(1,4-\dfrac{k}{75})$

Ur detta går det att lösa ut $P_n$:s gränsvärde $k$ ifall $0<><>$

k är alltså gränsvärdet, men varför likställer man $k = P_n = P_{n-1} ?$ Och hur kan de vara lika? 

 Vi är under antagandet att gränsvärdet för $P_n$ då $n\to\infty$ existerar. Då kommer skillnaderna successivt bli mindre och mindre mellan varje $P_n$-värde. Alltså, när $n$ blir större och större kommer $P_n\approx P_{n-1}$. När man låter $n$ gå mot oändligheten får man en exakt likhet att $P_n=P_{n-1}$.

Eftersom det blir rörigt om $P_n$ både skall representera gränsvärdet när $n\to\infty$ och samtidigt ett tal godtyckligt tal i talföljden kallar vi gränsvärdet i oändligheten för $k$. Då får vi ekvationen

$k=k(1,4-\dfrac{k}{75})$

som har två lösningar varav en som är giltig då $P_0=10$. Du kommer även se att punkterna närmar sig detta $k$-värdena när du ritar ut dem vilket kan vara bra för att verifiera ditt resultat.

 Hur vet man att skillnaden mellan varje $P_n$-värde kommer att bli mindre och mindre? Jag såg det när jag ritade mitt koordinatsystem att skillnaden blev mindre och mindre men hur veta det utan att rita ett koordinatsystem?

Att skillnaden mellan $P_n$-värdena minskar är ett krav för att talföljden ska närma sig ett visst värde. Minskar skillnaden inte går talföljden mot plus eller minus oändligheten.

Om detta skulle varit på universitetsnivå skulle man nog krävt ett bevis (förslagsvis med induktion) för att $P_n$ faktiskt är begränsad, men på gymnasienivå är det väl acceptabelt att bara anta det.

Hur vet man att skillnaden mellan varje Pn-värde kommer att bli mindre och mindre?

Om man vet att det finns ett gränsvärde, så måste det vara så.

Hej!

Anta att det finns ett tal $p$ sådant att $p = \lim_{n\to \infty}P_n.$ Vilket är isåfall detta tal?

Enligt rekursionen ska detta tal uppfylla ekvationen

    $p=p(1,4-p/75) \iff p-p(1,4-p/75) = 0 \iff p=0 \,eller\, p=0,4\cdot 75.$

Är $p=0$ rimligt? Om inte så måste gränsvärdet vara $30$, om det överhuvudtaget existerar.

Okej, då har jag förstått det. 

Nu till nästa problem. Om man tittar på det här igen: 

$k = k\left(1,4 - \frac{k}{75}\right)$ hur skulle man få fram k utan koordinatsystemet? 

Lös ekvationen $k=k(1,4-\frac{k}{75})$.