Existerar alltid en laplacetransform?

Ja. Integralen måste ju konvergera som du är inne på. Ett exempel är:

$f\left(t\right)=\dfrac{1}{t}$

Se om du kan klura ut varför integralen inte konvergerar.

EDIT:

Ytterligare exempel är $f\left(t\right)=e^{t^2}$.

Ah jaja, som jag trodde.

e^(t^2) vet jag dock inte...

Laplacetransformen av $e^{t^2}$ blir ju:

$\mathcal{L}\{e^{t^2}\}$ $\displaystyle=\int_0^\infty e^{t^2}\cdot e^{-st}\ dt=\int_0^\infty e^{t^2-st}\ dt$

Oavsett $s$ kommer exponenten $t^2-st$ att gå mot oändligheten då $t\to\infty$. Detta medför att även integranden går mot oändligheten, något som gör att integralen omöjligen kan konvergera. Därför finns ingen laplacetransform för $e^{t^2}$.

Åh i see.