Faktorisering fråga 2

Ett första steg vid problemlösning är att översätta det vi har fått uttryckt i ord till att utrycka det i matematiska symboler eftersom detta öppnar upp för algebraiska manipulationer.

Informationen säger oss egentligen att det existerar två polynom q och q' sådana att

$p(x) = (x - 1)q(x) + 6$ och

$p(x) = (x - 4)q'(x) + 7$

vidare så ska vi undersöka vilka möjliga krav som kan finnas på kvotpolynomet k(x) och restpolynomet r(x) när samma polynom skrivs som

$p(x) = (x - 1)(x - 4)k(x) + r(x)$

och restpolynomets grad är minimal.

Fundera på om dessa representationer ger någon idé.

Den enda sätt att få $\left(x-1\right)\left(x-4\right)$ skulle vara att multiplicera båda uttryck?

$$\begin{gathered} {\left(p\left(x\right)\right)}^2=\left(\left(x-1\right)q\left(x\right)+6\right)·\left(\left(x-4\right)q\text{'}\left(x\right)+7\right) \\ =\left(x-1\right)q\left(x\right)·\left(x-4\right)q\text{'}\left(x\right) + 7\left(x-1\right)q\left(x\right) + 6\left(x-4\right)q\text{'}\left(x\right)+42 \end{gathered}$$

Blir hela resten:

$7\left(x-1\right)q\left(x\right) + 6\left(x-4\right)q\text{'}\left(x\right)+42$?

Resten $r(x)$ vid division med $(x-1)(x-4)$ är sådan att 

$p(x) = (x-1)(x-4)k(x) + r(x)$.

Du vet att $p(1) = 6$ och $p(4) = 7$. Och graden på $r(x)$är lägre än graden på $(x-1)(x-4)$. Så $r(x) = ax+b$. Det ger dig ett ekvationssystem med två obekanta och två ekvationer.

Några kyrkklockor ringer men inte tillräckligt högt...

Hur vet jag att $p(1)=6$ och  $p(4)=7$? Är det inte resterna?

Har antagligen jobbat vidare med detta men apropå frågan är det en tillämpning av följande idé/sats:

Ett polynom $p(x)$ har rest $r$ vid division med $x - \alpha$ om och endast om $p(\alpha) = r$

Detta är inte direkt uppenbart från polynomdivisionskonceptet men är uppenbart utrgående från uttrycket

$p(x) = (x - \alpha) q(x) + r$

$p(\alpha) = (\alpha - \alpha) q(x) + r = 0 q(x) + r = r$

Detta är en generalisering av det mer bekanta resultatet 

Ett polynom $p(x)$ har rest $0$ vid division med $x - \alpha$ ($x - \alpha$ är en faktor i $p(x)$) om och endast om $p(\alpha) = 0$ ($\alpha$ är en rot)

SeriousCephalopod skrev :

Har antagligen jobbat vidare med detta men apropå frågan är det en tillämpning av följande idé/sats:

 

Jag?

Nej!

Jag har inte kommit fram svaret fortfarande!

Tack för allt hjälp! Nu förstådd jag grejen.

Poängen med restsatsen är att resten har en grad mindre än (i detta fall) andra grad ekvationen. Om jag skriver om resten som ax+b och tillämpar det för $p(1)=6$ och $p(4)=7$  får jag en ekvation system med 2 okända.