Faktorisering - tre termer måste vara dubbla produkten

Förstår så långt att ett uttryck med tre termer kan faktoriseras med hjälp av kvadreringsregeln men vad menas med att två av dessa måste vara jämna kvadrater samt att det tredje termen måste vara dubbla produkten? Går det till exempel att faktorisera följande uttryck:

h(x) = 12x^2+72x+108

När vi har kvadreringsregeln $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

jämför då termerna a och b i första ledet och det som vi "får ut" av kvadreringsregeln. Den första termen a kommer bli en kvadrat(upphöjt till 2) och så även talet b kommer också bli en kvadrat(upphöjt till 2). Det tredje som sker är att det bildas en mittenterm som heter "2ab" som alltså då där de båda termerna multiplicerat med varandra multiplicerat med 2, det är detta som kallas för den dubbla produkten. Så det krävs alltså att vi kan "leda tillbaks termerna" på detta sätt.

Jag tar några exempel

$p (x) = x^{2} + 10 x + 36$

Går denna att skriva som $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ?

Vi ser att $x^{2}$ är en jämn kvadrat och att vi då kan välja termen a som x. 36 är också en jämn kvadrat( $6^{2} = 36$ )så vi skulle kunna välja b som 6.Vi får dock ett problem.Mittentermen som ska vara dubbla produkten kommer inte bli lika med 10x som vi ville ha. För $2 \cdot 6 \cdot x = 12 x$ . $(x + 6)^{2} = x^{2} + 12 x + 36$ så det föll på det tredje kravet att mittentermen ska vara dubbla produkten.

Slutsats: $p (x) = x^{2} + 10 x + 36$ går ej att faktorisera med kvadreringsregeln

Exempel 2: $q (x) = x^{2} + 14 x + 49$

Går den att skriva på formen $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ?

Här ser vi att det börjar bra . $x^{2}$ är en jämn kvadrat och vi kan välja termen a som x. 49 är också en jämn kvadrat då $7^{2} = 49$ så vi kan välja termen b som 7.Nu ser vi också att vi har sån"tur"att dubbla produkten av x och 7 är just 14x då $2 \cdot 7 \cdot x = 14 x$ .Så hela uttrycket stämmer in på mönstret $(x + 7)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 7 \cdot x + 7^{2} = x^{2} + 14 x + 49$

Slutsats: $q (x) = x^{2} + 14 x + 49$ går att faktorisera med kvadreringsregeln.

Så nu till ditt uttryck

$h (x) = 12 x^{2} + 72 x + 108$

Det är lite klurigare. Det ser ju till en början ganska dystert ut. $12 x^{2}$ är ingen jämn kvadrat och 108 går inte heller att skriva som någon jämn kvadrat. Är det kört då?

Nej faktiskt inte. Skillnaden mot mina exempel är att vi har en faktor 12 framför $x^{2}$ . Notera också att både 72x och 108 är jämnt delbara med 12 ( $\frac{72}{12} = 6$ och $\frac{108}{12} = 9$ )

Detta gör att jag kan bryta ut 12 från uttrycket. Titta här!:

$h (x) = 12 x^{2} + 72 x + 109 = 12 (x^{2} + 6 x + 9)$

Nu när vi satt faktorn 12 framför istället så kanske du kan undersöka parentesen $(x^{2} + 6 x + 9)$ . Går den att faktorisera med kvadreringsregeln?

Svara Avbryt

Faktorisering - tre termer måste vara *dubbla produkten*

Faktorisering - tre termer måste vara dubbla produkten