Får man räkna med "påhittade" tal?
När man ska beräkna ett gränsvärde vill man ibland titta på höger- och vänstergränsvärdet för att se till att gränsvärdet ens existerar. Exempelvis:
Om vi tillåter oss betrakta 3+ som ett tal skulle vi kunna stoppa in det och utföra följande beräkning:
Här ser vi klart och tydligt att gränsvärdet inte existerar. Men denna metod ska tydligen inte vara matematiskt korrekt; varför är den inte det?
(Här innebär det upphöjda tecknet att talet i fråga är "oändligt lite" mindre eller större än "basen". Exempelvis skulle 3+>3, medan 3-<3)
3+ måste definieras om du ska använda det. Du föreslår definitionen “oändligt lite” mer än 3. Hur definierar du oändligt lite?
Hur man skulle hantera gränsvärden var ett problem som sysselsatte de bästa matematikerna under många hundra år. Oändligheten är också något som behöver definieras.
I ditt exempel låter jag 3+h stå för 3+ (Dvs h > 0). Det ger
(11+6h+h^2) / h = U, säg.
Nu spelar vi ett spel. Du ska säga ett stort tal, jag påstår att hur stort tal du än väljer så kan jag välja ett h som är så litet att U blir större än ditt tal (för alla positiva tal mindre än h). Det viktiga är att du börjar:
Du säger en miljon. Då säger jag h = 1/100000.
Du säger en miljard. Då säger jag 1/en miljard (ett genom hundramiljoner räcker, men jag är inte knusslig). Vilket tal T du än väljer så kan jag säga att h < 1/T ger U > T.
I så fall har vi visat att U går mot oändligheten när 3+ går mot 3. Men oändligheten “finns inte”, det är hela tiden fråga om att vad du än säger så kan jag bräcka det.
3+ måste definieras om du ska använda det. Du föreslår definitionen “oändligt lite” mer än 3. Hur definierar du oändligt lite?
Det jag menar med det är att om vi skulle kolla på tallinjen skulle vi kunna vara oändligt nära 3, antingen till höger eller vänster. Jag är inte säker på hur man skulle skriva upp det matematiskt. Det som jag kommer att tänka på spontant är . (såklart då med kravet att , men det impliceras väl redan i och med att vi talar om gränsvärdet där h->0?)
Vad menar du med att det inte existerar? Att gränsvärdet är oändligheten är för mig fortfarande att det existerar
Jag blev tillrättavisad tidigare idag där man menade att man säger att gränsvärdet saknas, eftersom oändligt inte är ett tal.
Hm, kanske jag som är rostig med terminologin
Ett tips är att läsa denna tråd där frågan diskuteras:
@naytte
Det verkar som att jag missade poängen med ditt första inlägg. Jag gick igång på din användning av 3+ men det var inte där din sko klämde. Ursäkta.
Notera signaturen Guggles kommentar i ovan anvisade tråd. Håller helt med, men det finns dock teknik och begrepp som gör oändligheten till sk ordinaltal. Även om de kallas så är de likväl fortfarande inte tal utan snarare mängder. Tekniken lär inte ingå i de inledande analyskurserna.
Om man utökar det reella talsystemet till det hyperreella talsystemet skulle man ju kunna uttrycka 3+ som (3+ε), men jag tvivlar på att det är tillåtet i ma3c?
Tillägg: 14 nov 2022 14:14
(Där ε är ett oändligt litet tal >0)
Svenskan. Det finns inget ”oändligt litet” eller ”oändligt stort” tal. Glöm dessa begrepp. De kan inte användas i matematik. Däremot finns ”godtyckligt litet positivt tal”, där ”godtyckligt” syftar på tal. Sådana tal ges ofta beteckningen ”epsilon”.
