Fel vid skapande av cosinusserie!

Hej!

Funktionens fourierserie är

    $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt+b_n\sin nt$

och din funktion är jämn vilket betyder att fourierserien också är jämn så samtliga sinustermer i serien är lika med noll. Funktionens fourierserie är därför

    $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt,$

där fourierkoefficienterna är sådana att

    $\pi a_n = \int_{-\pi}^{\pi}|t|\cos nt\,dt = \int_{-\pi}^{0}-t\cos nt\,dt+\int_{0}^{\pi}t\cos nt\,dt.$

Albiki skrev:

Hej!

Funktionens fourierserie är

    $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt+b_n\sin nt$

och din funktion är jämn vilket betyder att fourierserien också är jämn så samtliga sinustermer i serien är lika med noll. Funktionens fourierserie är därför

    $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt,$

där fourierkoefficienterna är sådana att

    $\pi a_n = \int_{-\pi}^{\pi}|t|\cos nt\,dt = \int_{-\pi}^{0}-t\cos nt\,dt+\int_{0}^{\pi}t\cos nt\,dt.$

 köper det du skriver om att vi kan försumma sinus termen, so far so good. 

Men vad i all sin dagar har den sista raden du skrev för koppling med uttrycket de får fram (det rödmarkerade 3:e bilden)? Speciellt i och med att de får k-termer i sitt uttryck och det gör mig riktigt förvirrad.

Integralerna beräknas med partiell integration.

    $\displaystyle\int_{a}^{b}t\cos nt\,dt = [\frac{t}{n}\sin nt]_{a}^{b}-\frac{1}{n}\int_{a}^{b}\sin nt\,dt = \frac{1}{n}(b\sin bn - a\sin an)-\frac{1}{n^2}[-\cos nt]_{a}^{b} = \frac{1}{n}(b\sin bn-a\sin an)+\frac{1}{n^2}(\cos bn-\cos an)$

För den första integralen är $a=-\pi$ och $b=0$ varför

    $\displaystyle-\int_{-\pi}^{0}t\cos nt\,nt = -\frac{1}{n}(\pi\sin \pi n)+\frac{1}{n^2}(1-\cos (-\pi n))=-\frac{1}{n^2}(1-(-1)^{n})$

och den andra integralen använder $a=0$ och $b=\pi$ som ger

    $\displaystyle\int_{0}^{\pi} t\cos nt\,dt = \frac{1}{n}\cdot\pi\sin \pi n +\frac{1}{n^2}(\cos \pi n-\cos 0) = \frac{1}{n^2}((-1)^{n}-1)$.

Addera de två integralerna (notera minustecknet hos den första integralen) för att få fourierkoefficienterna

    $\pi a_n = \frac{1}{n^2}(-1+(-1)^{n}+(-1)^{n}-1)=\frac{2}{n^2}((-1)^{n}-1).$

Notera att $(-1)^{n}-1 = 0$ när $n$ är ett jämnt tal och $-1-1 = -2$ när $n$ är ett udda tal, varför $\pi a_n = 0$ när $n$ är jämnt tal och $\pi a_n = -4/n^2$ när $n$ är udda tal.

Fourierserien är därför

    $\frac{a_0}{2}+\frac{1}{\pi}(-4\cos t - \frac{4}{9}\cos 3t - \frac{4}{25}\cos 5t - \cdots) = \frac{a_0}{2}-\frac{4}{\pi}(\cos t + \frac{1}{9}\cos 3t + \frac{1}{25}\cos 5t + \cdots).$

Hej!

Albiki har löst det väldigt noggrant, men bara för att snabbt besvara din fråga:

Notera att din täljare $(-1{)}^n-1$ är lika med noll då n är jämnt, därför är serien ekvivalent med dess "udda" serie (då alla termer då n är jämn blir noll), och därför kan du sätta $n=2k+1, k\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Därefter följer likheten mellan serierna direkt: din täljare är därmed alltid lika med -2 (bryt ut det och du får $\frac{-4}{\mathrm{\pi }}$) och gör substitutionen som jag nämnde ovan. Sedan är din serie lika med facits.

Om man tillämpar Parsevals formel för funktionen $f(t)=|t|$ där $-\pi\leq t \leq \pi$ fås

    $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,dt = \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2.$

Med $a_n = -\frac{4}{\pi n^2}$ när $n$ är udda (och noll när $n$ är jämn) producerar Parceval resultatet

    $\frac{\pi^2}{3}=\frac{a_0^2}{4}+\frac{8}{\pi^2}(1+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\cdots).$

Med $a_0 = \pi$ ger resulterar Parcevals formel i serien

    $\frac{\pi^4}{96}=1+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\cdots.$