6 svar
89 visningar
uppsalairaniern 82 – Fd. Medlem
Postad: 12 jan 2019 23:55

Fel vid skapande av cosinusserie!

Tjena!

Kommer nästan hela vägen till mållinjen när jag ska ta fram fourierserien till en funktion på trigonometrisk form (se bild nedan för mina beräkningar). Men där det tar stopp är alldeles på slutet när jag ska sätta samman mitt a_0 och a_n. Varför får de ett annat svar än mig? Jag begriper mig varken på vad min lärare skrivit i lösningen eller varför de får det de får. Tänkte det kanske var en omskrivning av vad jag redan räknat fram, men misslyckas se något. 

 

Det jag markerar med fingret är själva formeln jag utgår ifrån när jag skapar min fourierserie för uttrycket ifråga.

Det rödmarkerade i min lösning är cosinusserien jag får ihop men tydligen stämmer det inte.

Tacksam för svar!

 

/Shawn

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 13 jan 2019 00:09 Redigerad: 13 jan 2019 00:09

Hej!

Funktionens fourierserie är

    a02+n=1ancosnt+bnsinnt\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt+b_n\sin nt

och din funktion är jämn vilket betyder att fourierserien också är jämn så samtliga sinustermer i serien är lika med noll. Funktionens fourierserie är därför

    a02+n=1ancosnt,\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt,

där fourierkoefficienterna är sådana att

    πan=-ππ|t|cosntdt=-π0-tcosntdt+0πtcosntdt.\pi a_n = \int_{-\pi}^{\pi}|t|\cos nt\,dt = \int_{-\pi}^{0}-t\cos nt\,dt+\int_{0}^{\pi}t\cos nt\,dt.

uppsalairaniern 82 – Fd. Medlem
Postad: 13 jan 2019 00:15
Albiki skrev:

Hej!

Funktionens fourierserie är

    a02+n=1ancosnt+bnsinnt\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt+b_n\sin nt

och din funktion är jämn vilket betyder att fourierserien också är jämn så samtliga sinustermer i serien är lika med noll. Funktionens fourierserie är därför

    a02+n=1ancosnt,\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nt,

där fourierkoefficienterna är sådana att

    πan=-ππ|t|cosntdt=-π0-tcosntdt+0πtcosntdt.\pi a_n = \int_{-\pi}^{\pi}|t|\cos nt\,dt = \int_{-\pi}^{0}-t\cos nt\,dt+\int_{0}^{\pi}t\cos nt\,dt.

 köper det du skriver om att vi kan försumma sinus termen, so far so good. 

Men vad i all sin dagar har den sista raden du skrev för koppling med uttrycket de får fram (det rödmarkerade 3:e bilden)? Speciellt i och med att de får k-termer i sitt uttryck och det gör mig riktigt förvirrad.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 13 jan 2019 00:28 Redigerad: 13 jan 2019 00:29

Integralerna beräknas med partiell integration.

    abtcosntdt=[tnsinnt]ab-1nabsinntdt=1n(bsinbn-asinan)-1n2[-cosnt]ab=1n(bsinbn-asinan)+1n2(cosbn-cosan)\displaystyle\int_{a}^{b}t\cos nt\,dt = [\frac{t}{n}\sin nt]_{a}^{b}-\frac{1}{n}\int_{a}^{b}\sin nt\,dt = \frac{1}{n}(b\sin bn - a\sin an)-\frac{1}{n^2}[-\cos nt]_{a}^{b} = \frac{1}{n}(b\sin bn-a\sin an)+\frac{1}{n^2}(\cos bn-\cos an)

För den första integralen är a=-πa=-\pi och b=0b=0 varför

    --π0tcosntnt=-1n(πsinπn)+1n2(1-cos(-πn))=-1n2(1-(-1)n)\displaystyle-\int_{-\pi}^{0}t\cos nt\,nt = -\frac{1}{n}(\pi\sin \pi n)+\frac{1}{n^2}(1-\cos (-\pi n))=-\frac{1}{n^2}(1-(-1)^{n})

och den andra integralen använder a=0a=0 och b=πb=\pi som ger

    0πtcosntdt=1n·πsinπn+1n2(cosπn-cos0)=1n2((-1)n-1)\displaystyle\int_{0}^{\pi} t\cos nt\,dt = \frac{1}{n}\cdot\pi\sin \pi n +\frac{1}{n^2}(\cos \pi n-\cos 0) = \frac{1}{n^2}((-1)^{n}-1).

Addera de två integralerna (notera minustecknet hos den första integralen) för att få fourierkoefficienterna

    πan=1n2(-1+(-1)n+(-1)n-1)=2n2((-1)n-1).\pi a_n = \frac{1}{n^2}(-1+(-1)^{n}+(-1)^{n}-1)=\frac{2}{n^2}((-1)^{n}-1).

Notera att (-1)n-1=0(-1)^{n}-1 = 0 när nn är ett jämnt tal och -1-1=-2-1-1 = -2 när nn är ett udda tal, varför πan=0\pi a_n = 0 när nn är jämnt tal och πan=-4/n2\pi a_n = -4/n^2 när nn är udda tal.

Fourierserien är därför

    a02+1π(-4cost-49cos3t-425cos5t-)=a02-4π(cost+19cos3t+125cos5t+).\frac{a_0}{2}+\frac{1}{\pi}(-4\cos t - \frac{4}{9}\cos 3t - \frac{4}{25}\cos 5t - \cdots) = \frac{a_0}{2}-\frac{4}{\pi}(\cos t + \frac{1}{9}\cos 3t + \frac{1}{25}\cos 5t + \cdots).

Moffen 1875
Postad: 13 jan 2019 00:37 Redigerad: 13 jan 2019 00:39

Hej!

Albiki har löst det väldigt noggrant, men bara för att snabbt besvara din fråga:

Notera att din täljare (-1)n-1 är lika med noll då n är jämnt, därför är serien ekvivalent med dess "udda" serie (då alla termer då n är jämn blir noll), och därför kan du sätta n=2k+1, k. Därefter följer likheten mellan serierna direkt: din täljare är därmed alltid lika med -2 (bryt ut det och du får -4π) och gör substitutionen som jag nämnde ovan. Sedan är din serie lika med facits.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 13 jan 2019 00:38

Om man tillämpar Parsevals formel för funktionen f(t)=|t|f(t)=|t| där -πtπ-\pi\leq t \leq \pi fås

    12π-ππt2dt=a024+12n=1an2.\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,dt = \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2.

Med an=-4πn2a_n = -\frac{4}{\pi n^2} när nn är udda (och noll när nn är jämn) producerar Parceval resultatet

    π23=a024+8π2(1+134+154+).\frac{\pi^2}{3}=\frac{a_0^2}{4}+\frac{8}{\pi^2}(1+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\cdots).

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 13 jan 2019 00:42

Med a0=πa_0 = \pi ger resulterar Parcevals formel i serien

    π496=1+134+154+.\frac{\pi^4}{96}=1+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\cdots.

Svara
Close